Μοναδική και ακέραια

KARKAR · #1

Βρείτε τις ακέραιες τιμές του

, για τις οποίες η εξίσωση : $x=\sqrt{\dfrac{a}{2}+\sqrt{\dfrac{a}{2}-x}}}$ ,

έχει - ως προς

- μοναδική λύση , η οποία είναι επίσης ακέραια .

#2

Επιχειρώ μια απάντηση στο θέμα του Θανάση.

Για να έχει νόημα στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση πρέπει $\displaystyle 0 \le x \le \frac{a}{2}$

Έστω $\displaystyle \sqrt {\frac{a}{2} - x} = y,\;\;y \ge 0$ οπότε $\displaystyle {y^2} = \frac{a}{2} - x$ (1)

Η εξίσωση γίνεται $\displaystyle {x^2} = \frac{a}{2} + y$ (2) οπότε, από (1) και (2)

$\displaystyle {x^2} - {y^2} = y + x \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = \left( {x + y} \right)$

Αν $\displaystyle x=y=0$ , η αρχική επαληθεύεται.

Αλλιώς, $\displaystyle x - 1 = y \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = \frac{a}{2} - x,\;\;x \ge 1$ , που γράφεται $\displaystyle 2{x^2} - 2x + 2 - a = 0$

Έχει διακρίνουσα $\displaystyle D = 4 - 8\left( {2 - a} \right) = 8a - 12$ , θετική για $\displaystyle a \ge 2$ .

και (δεκτή) ρίζα $\displaystyle x = \frac{{1 + \sqrt {2a - 3} }}{2}$

Για να έχουμε ακέραιες λύσεις, αρκεί $\displaystyle 2{x^2} - 2x + 2 = a$ , για κάθε φυσικό αριθμό

.

Για

είναι

Για

είναι

Για

είναι

κ.ο.κ.

Μοναδική και ακέραια

Μοναδική και ακέραια

Re: Μοναδική και ακέραια

Μέλη σε σύνδεση