Κι άλλη ανισότητα

Fotis34 · #1

Να αποδείξετε ότι, για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b

με

, ισχύει:

$\displaystyle \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \ge a^{2} + b^{2}.$

Dinhoo37 · #2

Ισχύει για a>0

ότι
$a + \frac{1}{a} \geq 2$

$a + \frac{1}{a} \geq a+b$

$\frac{1}{a} \geq b$ άρα $\frac{1}{a^2} \geq b^2$

Ισχύει για b>0

ότι
$b + \frac{1}{b} \geq 2 \iff b + \frac{1}{b} \geq a+b$ .

Και με τον ίδιο τρόπο είναι $\frac{1}{b^2} \geq a^2$ .

Με πρόσθεση κατά μέλη είναι

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \geq a^2 + b^2$ .

Fotis34 · #3

Dinhoo37 έγραψε: Παρ Απρ 17, 2026 3:36 pm Ισχύει για ότι
$a + \frac{1}{a} \geq 2$

$a + \frac{1}{a} \geq a+b$

$\frac{1}{a} \geq b$ άρα $\frac{1}{a^2} \geq b^2$

Ισχύει για ότι
$b + \frac{1}{b} \geq 2 \iff b + \frac{1}{b} \geq a+b$ .

Και με τον ίδιο τρόπο είναι $\frac{1}{b^2} \geq a^2$ .

Με πρόσθεση κατά μέλη είναι

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \geq a^2 + b^2$ .

Άλλη λύση:

Είναι: $\displaystyle{\frac{1}{a²}+\frac{1}{b²}=\frac{a²+b²}{(ab)²}.}$

Άρα αρκεί να δείξουμε: $\displaystyle{\frac{a²+b²}{(ab)²}≥a²+b²}$ ή ισοδύναμα αν διαιρέσουμε με $\displaystyle{a²+b²>0}$ το $\displaystyle{LHS}$ και το $\displaystyle{RHS}$ $\displaystyle{\frac{1}{(ab)²}≥1 \Leftrightarrow (ab)²≤1 \Leftrightarrow ab≤1,}$ που ισχύει γιατί από $\displaystyle{AM-GM}$ είναι: $\displaystyle{\frac{(a+b)²}{4}≥ab \Leftrightarrow ab≤1.}$
* Προφανώς είναι $\displaystyle{ab>0.}$

#4

Fotis34 έγραψε: Παρ Απρ 17, 2026 3:01 pm Να αποδείξετε ότι, για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς με , ισχύει:

$\displaystyle \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \ge a^{2} + b^{2}.$

.
Είναι $2=a+b \ge 2\sqrt {ab}$ , άρα $\sqrt {ab} \le 1$ , ισοδύναμα $ab\le 1$ . Άρα

$a^2 + b^2 = \dfrac{a^2b^2}{b^2} + \dfrac{a^2b^2}{a^2} \le \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{a^2}$ , όπως θέλαμε.

Κι άλλη ανισότητα

Κι άλλη ανισότητα

Re: Κι άλλη ανισότητα

Re: Κι άλλη ανισότητα

Re: Κι άλλη ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση