Στον βωμό της ισότητας

KARKAR · #1

: Στον βωμό της ισότητας.png (10.48 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές

Στην ακτίνα OA=r

του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο

, με :

και υψώνουμε το κάθετο τμήμα

. Για ποια τιμή του

, είναι :

;

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 11, 2026 7:02 am Στον βωμό της ισότητας.pngΣτην ακτίνα του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο , με :

και υψώνουμε το κάθετο τμήμα . Για ποια τιμή του , είναι : ;

: βωμός.png (18.42 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές

.
Βλέπουμε το τεταρτοκύκλιο ως μέρος κύκλου. Με ST=y

έχουμε από τα ορθογώνια τρίγωνα ATD, TBE

$y^2= ST^2=AS\cdot SD=x(2r-x), \, TB^2=BE\cdot BC=2r(r-y)$

Άρα η δοθείσα ST^2=TB^2

γράφεται

από όπου $y=(-1+\sqrt 3)r$

Πίσω στην πρώτη και λύνοντας ως προς

θα βρούμε

$\boxed {x=\left (1-\sqrt{-3+2\sqrt {3}}\right )r }$

.

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Μάιος 11, 2026 7:02 am Στον βωμό της ισότητας.pngΣτην ακτίνα του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , θεωρούμε σημείο , με :

και υψώνουμε το κάθετο τμήμα . Για ποια τιμή του , είναι : ;

Θέτω

και με Π.Θ στο OTS

και νόμο συνημιτόνου στο OBT

έχω:

: Στον βωμό της ισότητας.png (13.04 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές

$\boxed{y^2=2rx-x^2}$ ΚΑΙ $\displaystyle {y^2} = 2{r^2} - 2{r^2}\cos \theta = 2{r^2} - 2{r^2}\sin \varphi = 2{r^2} - 2ry \Leftrightarrow$ $\boxed{y=(\sqrt 3-1)r}$

Από αυτές τις δύο σχέσεις με απαλοιφή του

καταλήγω στην εξίσωση $\displaystyle {x^2} - 2rx + (4 - 2\sqrt 3 )r = 0,$

απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα $\boxed{x = \left( {1 - \sqrt {2\sqrt 3 - 3} } \right)r}$

Στον βωμό της ισότητας

Στον βωμό της ισότητας

Re: Στον βωμό της ισότητας

Re: Στον βωμό της ισότητας

Μέλη σε σύνδεση