Η τρίτη καθετότητα

KARKAR · #1

: Η τρίτη καθετότητα.png (13.97 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές

Στο ισόπλευρο τρίγωνο ABC

οι κάθετες στα άκρα A , C

των

, αντίστοιχα τέμνονται στο

.

Σημείο

κινείται στην

. Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο BPSQ

. Δείξτε ότι : $DS \perp PQ$ .

Dimessi · #2

: Καθετότητα ......png (38.84 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές

Είναι
$\displaystyle \frac{QT}{QS}\cdot \frac{XB}{XT}\cdot \frac{MS}{MB}\overset{\left ( \Theta .M\epsilon \nu \epsilon \lambda \alpha o\upsilon \vartriangle BTS \delta \iota \alpha \tau \epsilon \mu \nu o\upsilon \sigma \alpha \overline{QXM} \right )}=1\overset{MS=MB}\Rightarrow \frac{XB}{XT}=\frac{QS}{QT}\overset{QT=QB}=\frac{QS}{QB}\overset{\vartriangle QAS \iota \sigma o\pi \lambda \epsilon \upsilon \varrho o}=$ $\displaystyle \frac{AQ}{QB}\overset{QS \parallel BC}=\frac{AS}{SC}\left ( \ast \right ),$ κι αφού τα ισοσκελή $\vartriangle DAC \sim \vartriangle QBT ,$ άρα $\angle SDC=\angle XQT\overset{QS \parallel BC}=\angle QPB \overset{L\equiv DS \cap QP}\Rightarrow C,D,L,P$ ομοκυκλικά οπότε $\overline{DSL}\perp PQ.$

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 21, 2026 8:32 am Η τρίτη καθετότητα.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο οι κάθετες στα άκρα των , αντίστοιχα τέμνονται στο .

Σημείο κινείται στην . Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο . Δείξτε ότι : $DS \perp PQ$ .

: Η τρίτη καθετότητα.png (50 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 21, 2026 8:32 am Η τρίτη καθετότητα.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο οι κάθετες στα άκρα των , αντίστοιχα τέμνονται στο .

Σημείο κινείται στην . Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο . Δείξτε ότι : $DS \perp PQ$ .

Θα αποδείξω τη συνθήκη καθετότητας $QS^{2}+DP^{2}=QD^{2}+SP^{2}$

Εστω AQ=x,BQ=a-x

,

$QD^{2}=x^{2}+\dfrac{a^{2}}{3},(1), SP^{2} =(a-x)^{2},(2), QS^{2} =x^{2},(3), DP^{2} =\dfrac{ax}{3}+(a-x)(\dfrac{4a}{3}-x),(4), (1)+(2),(3)+(4)$

συνεπάγεται η αποδεικτέα σχέση

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 21, 2026 8:32 am Η τρίτη καθετότητα.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο οι κάθετες στα άκρα των , αντίστοιχα τέμνονται στο .

Σημείο κινείται στην . Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο . Δείξτε ότι : $DS \perp PQ$ .

Ας είναι $AD \cap BC=L$ και $AD \cap QS=E$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABL

είναι

άρα (θ.κ.δέσμης) QS=SE

κι έστω $SZ \bot DT$

Τότε D,S,Z,C

ομοκυκλικά όπως και τα C,S,D,E

(αφού οι γωνίες CDE,CSE

είναι

) κι επειδή SE//ZC

το

είναι ισοσκελές τραπέζιο,άρα ZE=CS=BQ

κι αφού $EZ//QB \Rightarrow QEZB$ παραλ/μμο,άρα

$QE=BZ \Rightarrow 2m=m+PZ \Rightarrow m=//PZ$

Επομένως QSZP

παραλ/μμο,άρα $DS \bot QP$

: Η τρίτη καθετότητα.png (103.39 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές

giannimani · #6

Από τα ισόπλευρα τρίγωνα AQS

και

προκύπτουν οι ισότητες SA=SQ

και

, δηλαδή,
το

είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των ευθ. τμημάτων

και

.

Επομένως, είναι το ένα από τα δύο σημεία των δύο ποδηλατιστών (*) για τους κύκλους $(BAC)\equiv \Omega$ και $(BQP)\equiv \omega$ .

Λόγω αυτού το BOSK

παραλληλόγραμμο και το MKOS

ισοσκελές τραπέζιο (

και

τα κέντρα των
κύκλων $\Omega$ και $\omega$ αντίστοιχα), και, εφόσον $OK \bot BM$ (διάκεντρος κάθετος στη κοινή χορδή), τότε και $SM \bot BM$ .

Από την άλλη πλευρά, $DM \bot BM$ (η

διάμετρος του $\Omega$ ). Επομένως, $DS \bot BM$ .

: third_perpendic_sol.png (61.35 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές

Τα παραλληλόγραμμα BPSQ

και

έχουν κοινή διαγώνιο τη

, επομένως και κοινό κέντρο έστω

.

Το περίκεντρο

του ισοπλεύρου τριγώνου ABC

είναι και περίκεντρο του $\triangle PQS$ (ως σημείο τομής
των μεσοκαθέτων των

και

είναι και σημείο τομής των μεσοκαθέτων των

και

), οπότε

.

Επομένως, η διάμεσος

θα είναι και ύψος, δηλαδή, $\overline{ONK} \bot PQ$ , οπότε και $DS \bot PQ$ .

(*) Για τα σημεία των δύο ποδηλατιστών βλέπε εδώ.

#7

KARKAR έγραψε:Η τρίτη καθετότητα.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο οι κάθετες στα άκρα των , αντίστοιχα τέμνονται στο .
Σημείο κινείται στην . Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο . Δείξτε ότι : $DS \perp PQ$ .

$\bullet$ Δια του σημείου

φέρνουμε τις κάθετες ευθείες επί των SQ, SP,

οι οποίες τέμνουν τις AD, CD

στα σημεία E, F,

αντιστοίχως.

Από το παραλληλόγραμμο SEDF

έχουμε ότι η ευθεία

περνάει από το μέσον

του

: Η τρίτη καθετότητα.; f=178 t=79355.PNG (19.89 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές

Έχουμε διαμορφώσει έτσι, το τρίγωνο $\vartriangle SPQ$ και τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle SQE, \vartriangle SPF,$ με $\angle ESQ = 90^{o} = \angle FSP$ και $\angle SQE = 30^{o} = \angle SPF.$

Σύμφωνα με γνωστό αποτέλεσμα (*) από την βιβλιογραφία και το οποίο έχουμε ξαναδεί πιθανότατα στο

,

ισχύει $MS\perp PQ\Rightarrow$ $DS\perp PQ$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

(*) Θα ψάξω να το βρω αλλά είναι λίγο δύσκολο να το πετύχω.

#8

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 21, 2026 8:32 am Η τρίτη καθετότητα.pngΣτο ισόπλευρο τρίγωνο οι κάθετες στα άκρα των , αντίστοιχα τέμνονται στο .

Σημείο κινείται στην . Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο . Δείξτε ότι : $DS \perp PQ$ .

: Η τρίτη καθετότητα_new.png (32.22 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές

¨Έστω

τα κέντρα των κύκλων , $\left( {A,Q,D} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {P,C,D} \right)$ . Ας είναι και

το μέσο του

.

( ακτίνες κύκλου ) και SP = SC

, έτσι το

ανήκει στη μεσοκάθετο του

, οπότε $SL \bot SQ$

Επειδή $SL \bot QS$ θα είναι $LS \bot HK$ ομοίως δε και $KS \bot HL$ . Δηλαδή το

είναι ορθόκεντρο του $\vartriangle SKL$

Άρα $DS \bot KL \Rightarrow DS \bot PQ$ , αφού KL//PQ

.

Παρατήρηση .

Ένα σχήμα ενδέχεται να «λέει πολλά» αλλά δεν αποδεικνύει τίποτα

Η λύση είναι επί της ουσίας αυτής της πρώτης μου ανάρτησης

( υπ αριθ 3 , μαζί με την εκφώνηση , από πάνω προς τα κάτω ).

Εκεί για λόγους υπέρ άνω της θελήσεώς μου δε είχα την ευχέρεια να γράψω τίποτα .

Απλώς τώρα την παρουσιάζω με λίγο διαφορετικό τρόπο .

S.E.Louridas · #9

Καλημέρα με το ερώτημα: Φτάνουν αυτά που ακολουθούν, ώστε να ασχοληθούν επιπλέον και πιθανοί Μαθητές που μας παρακολουθούν
και ενδιαφέρονται για Μαθηματικούς διαγωνισμούς;

: GOOD GEOMETRY.png (54.18 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές

Η τρίτη καθετότητα

Η τρίτη καθετότητα

Re: Η τρίτη καθετότητα

Re: Η τρίτη καθετότητα

Re: Η τρίτη καθετότητα

Re: Η τρίτη καθετότητα

Re: Η τρίτη καθετότητα

Re: Η τρίτη καθετότητα

Re: Η τρίτη καθετότητα

Re: Η τρίτη καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση