Μα πόσες ρίζες βλέπω;

#1

Να αποδειχθεί ότι όλες οι παραστάσεις της μορφής

$\displaystyle{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2^{\sqrt 2}} }}$ είναι μικρότερες του

.

(Οι $\displaystyle{\sqrt 2}}$ μπορεί να είναι όσες θέλουμε, αλλά μου αρκεί να ασχοληθείτε μόνο με την συγκεκριμένη. Αναμένω λύση των δύο γραμμών.)

athanasio · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιουν 03, 2026 8:53 am Να αποδειχθεί ότι όλες οι παραστάσεις της μορφής

$\displaystyle{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2^{\sqrt 2}} }}$ είναι μικρότερες του .

(Οι $\displaystyle{\sqrt 2}}$ μπορεί να είναι όσες θέλουμε, αλλά μου αρκεί να ασχοληθείτε μόνο με την συγκεκριμένη. Αναμένω λύση των δύο γραμμών.)

Αρκεί να δείξουμε ότι ο εκθέτης του παραπάνω, δηλαδή ο $\displaystyle{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2^{\sqrt 2}} }}$ είναι μικρότερος του 2.
Άρα ο εκθέτης του παραπάνω, δηλαδή ο $\displaystyle{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2^{\sqrt 2}} }}$ είναι μικρότερος του 2.
Άρα ο εκθέτης του παραπάνω... κλπ (όσες φορές θέλουμε, επαγωγικά) μικρότερος του 2.
Ισχύει, διότι καταλήγουμε στο τέλος στο $\displaystyle{\sqrt 2}} }}<2$ .

Συγγνώμη, είναι 4 γραμμές!

Ωραίο θέμα!!

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιουν 03, 2026 8:53 am Να αποδειχθεί ότι όλες οι παραστάσεις της μορφής

$\displaystyle{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2^{\sqrt 2}} }}$ είναι μικρότερες του .

(Οι $\displaystyle{\sqrt 2}}$ μπορεί να είναι όσες θέλουμε, αλλά μου αρκεί να ασχοληθείτε μόνο με την συγκεκριμένη. Αναμένω λύση των δύο γραμμών.)

.
Αυτό που είχα κατά νου είναι να αρχίσουμε με το ψηλότερο $\sqrt 2$ και να κάνουμε χρήση του

\sqrt 2< \sqrt 4 =2

. Έτσι

\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2^{\sqrt 2}} }}} < \sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2^{\sqrt 4}} }}} = \sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2^2} }}} = \sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^2}}}= \sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^2}}= \sqrt 2 ^{\sqrt 2 ^2}= \sqrt 2 ^2=2

athanasio · #4

Μόλις την είδα την άσκηση, σκέφτηκα μία παραλλαγή της που μου προκάλεσε το ενδιαφέρον:
Ισχύει το συμπέρασμα, αν οι εκθέτες δεν είναι πεπερασμένοι, αλλά άπειροι το πλήθος;

Τόσο η απόδειξη του κ. Λάμπρου, όσο και η δική μου δεν μπορούν να αποδείξουν κάτι τέτοιο.
(Διαισθητικά κάνοντας μία "ψευτοαπόδειξη" - δεν την παραθέτω, διότι δεν "στέκει" - βλέπω ότι δεν ισχύει η ανισότητα! Είναι έτσι;)

#5

athanasio έγραψε: Παρ Ιουν 05, 2026 9:29 am Μόλις την είδα την άσκηση, σκέφτηκα μία παραλλαγή της που μου προκάλεσε το ενδιαφέρον:
Ισχύει το συμπέρασμα, αν οι εκθέτες δεν είναι πεπερασμένοι, αλλά άπειροι το πλήθος;

Τόσο η απόδειξη του κ. Λάμπρου, όσο και η δική μου δεν μπορούν να αποδείξουν κάτι τέτοιο.
(Διαισθητικά κάνοντας μία "ψευτοαπόδειξη" - δεν την παραθέτω, διότι δεν "στέκει" - βλέπω ότι δεν ισχύει η ανισότητα! Είναι έτσι;)

.
Όταν οι εκθέτες είναι άπειροι πρέπει πρώτα απ΄ όλα να εξηγήσεις τι εννοείς με την παράσταση. Αυτό όμως έχει προφανή απάντηση από το γεγονός ότι η ακολουθία των αριθμών

\sqrt 2, \, \sqrt 2 ^{\sqrt 2}, \, \sqrt 2 ^{\sqrt 2^{\sqrt 2}}, \, ...

(*)

αποδεικνύεται αύξουσα και φραγμένη. Άρα το όριο υπάρχει.

Το ενδιαφέρον είναι ότι μπορούμε εύκολα να βρούμε το όριο με αυστηρή απόδειξη, όχι με "ψευτοαπόδειξη" που αναφέρεται παραπάνω. Συγκεριμένα από τις ιδιότητες της συνέχειας και από την ιδιότητα

x_{n+1}= \sqrt 2^{x_n}

, όπου

ο n-οστός όρος της ακολουθίας (*), παίρνοντας όριο έχουμε

x= \sqrt 2^x

που έχει μοναδικές ρίζες (άσκηση) τις

x=2, \, x=4

. Κρατάμε την πρώτη για προφανείς λίγους.

Με άλλα λόγια η (ακριβής) τιμή της παράστασης με άπειρα ριζικά είναι

. Οπότε η ανισότητα δεν είναι γνήσια, αλλά είναι ισότητα.

athanasio · #6

Ωραία!
Ευχαριστώ!

Μα πόσες ρίζες βλέπω;

Μα πόσες ρίζες βλέπω;

Re: Μα πόσες ρίζες βλέπω;

Re: Μα πόσες ρίζες βλέπω;

Re: Μα πόσες ρίζες βλέπω;

Re: Μα πόσες ρίζες βλέπω;

Re: Μα πόσες ρίζες βλέπω;

Μέλη σε σύνδεση