Ακολουθία ψηφίων

[Mihalis_Lambrou]

.
Μία εκτυπωτική μηχανή δουλεύει ως εξής: Στην αρχή της δίνουν ένα κατάλογο από τέσσερις μονοψήφιους αριθμούς. Μετά η μηχανή συνεχίζει τον κατάλογο τυπώνοντας το μικρότερο από τα ψηφία έως το οποίο είναι διαφορετικό από καθένα από τα τέσσερα τελευταία ψηφία στον κατάλογο. Στη συνέχεια η μηχανή επαναλαμβάνει αυτή τη διαδικασία, ξανά και ξανά. Αν ο αρχικός κατάλογος ξεκινά με τα ψηφία ποιος αριθμός θα είναι στην 100η θέση στον κατάλογο;

(Κάνει και για Δημοτικό. Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.)

[Mihalis_Lambrou]

Ανοικτή σε όλους.

[Mihalis_Lambrou]

.
Μία εκτυπωτική μηχανή δουλεύει ως εξής: Στην αρχή της δίνουν ένα κατάλογο από τέσσερις μονοψήφιους αριθμούς. Μετά η μηχανή συνεχίζει τον κατάλογο τυπώνοντας το μικρότερο από τα ψηφία έως το οποίο είναι διαφορετικό από καθένα από τα τέσσερα τελευταία ψηφία στον κατάλογο. Στη συνέχεια η μηχανή επαναλαμβάνει αυτή τη διαδικασία, ξανά και ξανά. Αν ο αρχικός κατάλογος ξεκινά με τα ψηφία ποιος αριθμός θα είναι στην 100η θέση στον κατάλογο;

.
Θα είμαι λίγο αναλυτικός.

Οι αρχικοί αριθμοί είναι οι Τα ψηφία που δεν είναι σε αυτόν τον κατάλογο είναι τα και . Το μικρότερο από αυτά είναι το , οπότε η μηχανή τυπώνει το μετά τα αρχικά. Ξεκινά τότε νέα διαδικασία με βάση τα τέσσερα τελευταία ψηφία του καταλόγου, δηλαδή τα . Τώρα το πιο μικρό ψηφίο από τα υπόλοιπα είναι το , οπότε αυτό είναι το επόμενο ψηφίο στον κατάλογο. Αν συνεχίσουμε με τον ίδιο τρόπο, θα διαπιστώσουμε ότι το αρχικό τμήμα του καταλόγου θα έχει την μορφή . Ήδη γράψαμε περισσότερα ψηφία από όσα χρειαζόμαστε. Η ιδέα από εδώ και πέρα είναι να παρατηρήσουμε ότι το μοτίβο επαναλαμβάνεται συνεχώς (μόλις η πεντάδα αυτή επαναληφθεί μία φορά, θα επαναληφθεί υποχρεωτικά και στην επόμενη πεντάδα αφού ο τρόπος κατασκευής της είναι ίδιος). Μπορούμε τώρα να βρούμε ποιο ψηφίο θα είναι στην 100η θέση, με χρήση της περιοδικότητας: Το μοτίβο ξεκινά από την 2η θέση του καταλόγου. Άρα το πρώτο ψηφίο του μοτίβου, δηλαδή το 0, θα είναι στην 2η, 7η, 12η, 17η, … , 102η θέση. Δύο θέσεις πιο πίσω, στην 100η, θα είναι το , που είναι η απάντηση στο ερώτημά μας. Ας σημειώσουμε ότι η περιοδικότητα είναι αναμενόμενη, και θα υπάρχει όποιοι και αν είναι οι αρχικοί αριθμοί, για τον εξής λόγο: Δεν μπορεί κάθε τετράδα αριθμών να είναι διαφορετική (και άρα να είναι άπειρες οι διαφορετικές τετράδες) γιατί υπάρχουν συνολικά μόνο πεπερασμένες το πλήθος τετράδες (λιγότερες από 9999). Άρα, αργά ή γρήγορα, κάποια τετράδα θα επαναληφθεί. Οπότε και οι επόμενοι αριθμοί μετά την τετράδα θα επαναληφθούν, ακριβώς οι ίδιοι, αφού ένας είναι ο τρόπος που παίρνουμε κάθε επόμενο ψηφίο από τα προηγούμενα.