Δυσπρόσιτος τόπος

KARKAR · #1

: Δυσπρόσιτος τόπος.png (14.66 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές

Η χορδή

κινείται παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο AOB=2r

του ημικυκλίου

του σχήματος . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής

των τμημάτων

και

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 11, 2026 6:53 pm Δυσπρόσιτος τόπος.pngΗ χορδή κινείται παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο του ημικυκλίου

του σχήματος . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής των τμημάτων και .

.
Είναι

D(a,b), C(-a,b)

όπου

(*). Η ευθεία

είναι η

y =\dfrac {b}{a}x

και η

είναι

y =\dfrac {b}{-a-r}(x-r)

.

Λύνοντας το σύστημα των δύο τελευταίων ως προς a,b

θα βρούμε

a =\dfrac {rx}{r-2x}, \, b =\dfrac {ry}{r-2x}

. Άρα από την (*)

r^2=a^2+b^2= \dfrac {r^2(x^2+y^2)}{(r-2x)^2}

, ισοδύναμα

(r-2x)^2=x^2+y^2

, που γράφεται

\boxed {y^2=(r-3x)(r-x)}

(υπερβολή, μέρος του ενός κλάδου και συγκεκριμένα μόνο ό,τι είναι στο εσωτερικό του ημικυκλίου). Και λοιπά, μπορούμε να της δώσουμε και άλλες μορφές.

KARKAR · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Ιουν 11, 2026 8:51 pm ... μπορούμε να της δώσουμε και άλλες μορφές.

Μια τέτοια μορφή ( την οποία αγαπούν οι μαθητές , ο KARKAR και ο Γ. Βισβίκης ) ,

είναι o τύπος συνάρτησης :

f(x)=\sqrt{3x^2-4rx+r^2} , 0\leq x \leq \dfrac{r}{3}

.

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιουν 11, 2026 6:53 pm Η χορδή κινείται παραμένοντας παράλληλη προς την διάμετρο του ημικυκλίου

του σχήματος . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής των τμημάτων και .

Καλημέρα από Γρεβενά...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Δυσπρόστιος τόπος 1.png (34.52 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές

Για απλούστευση των πράξεων και χωρίς απώλεια της γενικότητας θεωρούμε $\displaystyle{r=1}$ .
Ακόμα:

A=(-1,0), \ \ B=(1,0), \ \ O=(0,0),\ \ C=(cost, sint), \ \ D=(-cost, sint) \ \ (1)

όπου

0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}, \ \ t=\widehat{BOC} \ \ (2)

Τότε οι εξισώσεις των ευθειών που ορίζουν τα τμήματα

OC, BD

είναι:

OC:y=(tant)x \ \ (3)

BD: y=-\frac{sint}{1+cost}(x-1) \ \ (4)

Η τομή των δυο αυτών ευθειών δίνει τις συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{S}$ .
Δηλαδή:

x(t)=\frac{cost}{1+2cost}, \ \ y(t)=\frac{sint}{1+2cost} \ \ (5)

Απαλοίφοντας τη γωνία $\displaystyle{t}$ από τις εξισώσεις (5) βρίσκουμε:

3x^2-y^2+4x=0

ή ακόμα:

\frac{(x-\frac{2}{3})^2}{(\frac{1}{3})^2} -\frac{y^2}{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}=1 \ \ (6)

Η σχέση (6) αποτελεί την εξίσωση της υπερβολής και φυσικά η (5) αποτελούν ένα τόξο
της υπερβολής αυτής.
Αναρτώ κι ένα δυναμικό σχήμα για την κίνηση του σημείου $\displaystyle{S}$ επί του γεωμετρικού αυτού τόπου.
https://www.geogebra.org/m/cnpskpxg

Κώστας Δόρτσιος

#5

KARKAR έγραψε: Παρ Ιουν 12, 2026 8:57 am
Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Ιουν 11, 2026 8:51 pm ... μπορούμε να της δώσουμε και άλλες μορφές.
Μια τέτοια μορφή ( την οποία αγαπούν οι μαθητές , ο KARKAR και ο Γ. Βισβίκης ) ,

είναι o τύπος συνάρτησης : $f(x)=\sqrt{3x^2-4rx+r^2} , 0\leq x \leq \dfrac{r}{3}$ .

.
Θανάση, σωστά, αλλά μη μου πεις ότι θα είχε κανείς στο mathematica πρόβλημα να κάνει την αναγωγή. Καλό είναι να μην ασχολούμαστε με τετριμμένες προσθήκες που δεν προσθέτουν τίποτα ουσιαστικό.

Ο λόγος που έγραψα τον τόπο σε δύο μορφές (οπότε περιττεύει ο ακραίος σχολαστικισμός να γράψουμε μία τρίτη) είναι γιατί σε μία από αυτές φαίνεται καθαρά ότι η καμπύλη είναι υπερβολή. Στη μορφή που το γράφεις, αυτό δεν φαίνεται.

Αν η άσκηση ζητούσε να γράψουμε την εξίσωση του τόπου ως συνάρτηση, θα έκανα ο ίδιος την αναγωγή. Αν δεν το ζητάει, είναι καλύτερη η μορφή που έγραψα, όπως ακριβώς σε μία εξίσωση κύκλου προτιμάμε την μορφή (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

, παρά να λύσουμε ως προς

.

Δυσπρόσιτος τόπος

Δυσπρόσιτος τόπος

Re: Δυσπρόσιτος τόπος

Re: Δυσπρόσιτος τόπος

Re: Δυσπρόσιτος τόπος

Re: Δυσπρόσιτος τόπος

Μέλη σε σύνδεση