Στριφνή ανίσωση

KARKAR · #1

Να λυθεί η ανίσωση :

\dfrac{3x^2}{(1-\sqrt{x+1})^2}>x+4

Al.Koutsouridis · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιουν 27, 2026 12:58 pm Να λυθεί η ανίσωση : $\dfrac{3x^2}{(1-\sqrt{x+1})^2}>x+4$

Θέτουμε

\sqrt{x+1}=t, t \geq 0, t \neq 1

και ανίσωση γίνεται

\dfrac{3(t^2-1)^2}{(1-t)^2} -t^2-3 >0 \Leftrightarrow

3(t+1)^2-t^2-3 > 0 \Leftrightarrow

2t(t+3) > 0 \Leftrightarrow

Δηλάδη θα πρέπει

\sqrt{x+1} > 0 \Leftrightarrow x >-1

και λόγω του ότι $t \neq 1$ το σύνολο των λύσεων είναι

x \in (-1,0) \cup (0, +\infty)

#3

Για

x \in \left ( -1,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty \right )

έχουμε:

\frac{3x^2}{\left ( 1-\sqrt{1+x} \right )^2}\geq x+4 \Leftrightarrow \left(\frac{\sqrt{3}x}{1-\sqrt{x+1}} \right )^2 \geq x+4\Leftrightarrow

\left ( \sqrt{3} \left ( 1+\sqrt{1+x} \right )\right )^2\geq x+4 \Leftrightarrow \sqrt{3}\left ( 1+\sqrt{1+x} \right )\geq \sqrt{x+4}\Leftrightarrow

3\left ( 2+x+2\sqrt{1+x} \right )\geq x+4\Leftrightarrow 3\sqrt{x+1}+2x+2\geq 0

, που ισχύει για τα

x\in \left ( -1,0 \right )\cup \left ( 0,+\infty \right )

#4

εκ παραδρομής έβαλα ανοικτό διάστημα στο

. Tώρα είδα ότι ο Θανάσης έχει

και εγώ, από αβλεψία
σημείωσα $\geq$ . Από ότι φαίνεται δύο λάθη δεν κάνουν ένα σωστό