Διάστημα με φυσικούς αριθμούς

#1

Ποιος είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός

έτσι ώστε το ανοικτό διάστημα

\left ( \dfrac {n+8}{2}, \dfrac {2n+14}{3} \right )

να περιέχει τουλάχιστον τέσσερις φυσικούς αριθμούς;

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.)

Dinhoo37 · #2

Το προσέγγισα, δεν ξέρω κατά πόσο ικανοποιητικά.

( $k \in \mathbb{N}$ )

Αν υποθετουμε ότι τα άκρα είναι και αυτοί φυσικοί τότε
η μικρότερη δυνατή διαφορά των άκρων προκύπτει
όταν είναι το πρώτο άκρο, οι ενδιάμεσοι φυσικοί
και τέλος το δεύτερο άκρο όλα μαζί διαδοχικοί φυσικοί.

Άμα είχαμε π.χ.

k, k+1, k+2, k+3, k+4, k+5

διαδοχικούς,

(k+5) - k = 5

.

Μπορούμε άρα να πάρουμε

\dfrac{2n+14}{3} - \dfrac{n+8}{2} \geq 5

απ' όπου

n \geq 26

.

Για

, τα άκρα είναι ακέραιοι οπότε τελειώσαμε

* Άμα δεν υποθέτουμε ότι τα άκρα είναι και αυτοί φυσικοί, άμα είχαμε π.χ.

k, k+1, k+2, k+3

ως τους ενδιάμεσους διαδοχικούς φυσικούς

και παίρναμε

\dfrac{n+8}{2} < k

και

\dfrac{2n+14}{3} > k+3

έχουμε από πρόσθεση κατά μέλη

\dfrac{2n+14}{3} - \dfrac{n+8}{2} > 3 \Rightarrow n > 14

.

Τώρα από δοκιμή για τιμές

n \geq 15

, η μικρότερη τιμή για την οποία το ανοικτό διάστημα αυτό έχει τουλάχιστον τέσσερις φυσικούς είναι η τιμή

n = 19

, όπου είναι

\dfrac{27}{2} < 14 < 15 < 16 < 17 < \dfrac{52}{3}

.

#3

Dinhoo37 έγραψε: Τρί Ιουν 30, 2026 1:45 pm Το προσέγγισα, δεν ξέρω κατά πόσο ικανοποιητικά.
...
* Άμα δεν υποθέτουμε ότι τα άκρα είναι και αυτοί φυσικοί, άμα είχαμε π.χ.

.
H άσκηση πουθενά δεν λέει ότι τα άκρα πρέπει είναι φυσικοί αριθμοί.

Dinhoo37 · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Ιουν 30, 2026 2:39 pm
Dinhoo37 έγραψε: Τρί Ιουν 30, 2026 1:45 pm Το προσέγγισα, δεν ξέρω κατά πόσο ικανοποιητικά.
...
* Άμα δεν υποθέτουμε ότι τα άκρα είναι και αυτοί φυσικοί, άμα είχαμε π.χ.
.
H άσκηση πουθενά δεν λέει ότι τα άκρα πρέπει είναι φυσικοί αριθμοί.

Όντως, απλά δεν ήμουν σίγουρος οπότε πήρα καλού κακού και τις δύο περιπτώσεις
(παρεμπιπτόντως είναι εντάξει η λύση χωρίς την υπόθεση?)

#5

Dinhoo37 έγραψε: Τρί Ιουν 30, 2026 2:40 pm παρεμπιπτόντως είναι εντάξει η λύση χωρίς την υπόθεση?

Επιβεβαιώνω ότι το n=19

είναι ο ζητούμενος ελάχιστος.

Αν θέλουμε διπλό έλεγχο, ας δούμε γιατί το n=18

αποτυγχάνει: Για n=18

έχουμε

\left ( \dfrac {n+8}{2}, \dfrac {2n+14}{3} \right ) =\left ( \dfrac {18+8}{2}, \dfrac {2\cdot 18+14}{3} \right )= \left ( 13, 16\frac {2}{3} \right )

, το οποίο περιέχει μόνο τρεις φυσικούς, τους

14, \, 15, \, 16 .

Διάστημα με φυσικούς αριθμούς

Διάστημα με φυσικούς αριθμούς

Re: Διάστημα με φυσικούς αριθμούς

Re: Διάστημα με φυσικούς αριθμούς

Re: Διάστημα με φυσικούς αριθμούς

Re: Διάστημα με φυσικούς αριθμούς

Μέλη σε σύνδεση