Διπλό ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Διπλό ορθογώνιο.png (10.33 KiB) Προβλήθηκε 110 φορές

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

με πλευρές AB=a , BC=b

, η διαγώνιος

είναι κάθετη στην

.

Ονομάζουμε

την προβολή του μέσου

της

στην πλευρά

. Υπολογίστε το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 03, 2026 7:52 am Διπλό ορθογώνιο.pngΣτο παραλληλόγραμμο με πλευρές , η διαγώνιος είναι κάθετη στην .

Ονομάζουμε την προβολή του μέσου της στην πλευρά . Υπολογίστε το τμήμα .

CM \cdot CA = CS \cdot CB \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{b^2} - {a^2}} }}{2}\sqrt {{b^2} - {a^2}} = b\cdot CS \Leftrightarrow CS = \dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}

: Διπλό ορθογώνιο.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές

Νόμος συνημιτόνου στο CSD

με

\cos (S\widehat CD) = \cos (90^\circ + \theta ) = - \sin \theta = - \dfrac{a}{b}

S{D^2} = {\left( {\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}}} \right)^2} + {a^2} + 2a\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{2b}} \cdot \dfrac{a}{b} \Leftrightarrow

\boxed{SD = \dfrac{{\sqrt {{b^4} + 6{a^2}{b^2} - 3{a^4}} }}{{2b}}}

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 03, 2026 7:52 am Διπλό ορθογώνιο.pngΣτο παραλληλόγραμμο με πλευρές , η διαγώνιος είναι κάθετη στην .

Ονομάζουμε την προβολή του μέσου της στην πλευρά . Υπολογίστε το τμήμα .

(ABCD)=bh=aAC=a \sqrt{b^2-a^2} \Rightarrow h= \dfrac{a}{b}. \sqrt{b^2-a^2}

AC^2=CZ.b=2CS.b \Rightarrow CS= \dfrac{AC^2}{2b} = \dfrac{b^2-a^2}{2b}

DE=BS=b-CS=b- \dfrac{b^2-a^2}{2b}= \dfrac{a^2+b^2}{2b}

Με αντικατάσταση των

h,DE

στην

DS^2=h^2+DE^2

εύκολα παίρνουμε

DS= \dfrac{ \sqrt{b^4+6a^2b^2-3a^4} }{2b}

: Διπλό ορθογώνιο.png (25.04 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 03, 2026 7:52 am Διπλό ορθογώνιο.pngΣτο παραλληλόγραμμο με πλευρές , η διαγώνιος είναι κάθετη στην .

Ονομάζουμε την προβολή του μέσου της στην πλευρά . Υπολογίστε το τμήμα .

: διπλό ορθ.png (16.7 KiB) Προβλήθηκε 64 φορές

.
Ας το δούμε και με Αναλυτική Γεωμετρία δεδομένου ότι ανάγεται σε απλό θέμα ρουτίνας. χωρίς καθόλου σκέψη.

Γυρίζουμε το σχήμα σε πιο βολική θέση, και χρησιμοποιούμε άξονες AB, AC

. Είναι τότε

A(0,0), B(a,0), C(0,c), M(0,c/2)

όπου από το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

είναι

a^2+c^2=b^2

(1)

Εύκολα βλέπουμε ότι η εξίσωση της

είναι

y=-\dfrac {c}{a} (x-a)

και άρα της κάθετής της

είναι

y=\dfrac {c}{a} x+\dfrac {c}{2}

. Λύνοντας το σύστημα των δύο τελευταίων βρίσκουμε ότι η τομή τους

είναι

S\left ( \dfrac {c^2a}{2(a^2+c^2)},\, \dfrac {c(2a^2+c^2)}{2(a^2+c^2)} \right ) =^{(1)} S\left ( \dfrac {c^2a}{2b^2},\, \dfrac {c(a^2+b^2)}{2b^2} \right )

Τώρα η απόσταση

είναι άμεση. Θα βρούμε ότι βρήκαν οι προλαλλήσαντες. Αφήνω την ανιαρή πληκτρολόγηση.

STOPJOHN · #5

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 03, 2026 7:52 am Διπλό ορθογώνιο.pngΣτο παραλληλόγραμμο με πλευρές , η διαγώνιος είναι κάθετη στην .

Ονομάζουμε την προβολή του μέσου της στην πλευρά . Υπολογίστε το τμήμα .

Εστω

AT\perp BC,MS\perp BC,DL\perp CB,AT\perp BC,TS=SC=y,BT=CL=b-2y

SDL,SD^{2}= \upsilon ^{2}+(b-y)^{2},(*),BA^{2}=BT.BC\Rightarrow y=\dfrac{b^{2}-a^{2}}{2b},(1), AT^{2} =TB.TC\Rightarrow \upsilon ^{2}=\dfrac{a^{2}(b^{2}-a^{2})}{b^{2}},(2), (*),(1) ,(2)\Rightarrow SD^{2}=\dfrac{6a^{2}b^{2}-3a^{4}+b^{4}}{4b^{2}}

Διπλό ορθογώνιο

Διπλό ορθογώνιο

Re: Διπλό ορθογώνιο

Re: Διπλό ορθογώνιο

Re: Διπλό ορθογώνιο

Re: Διπλό ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση