Μέσος και λόγος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.

Το τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $R=2\sqrt{2}$ και

ύψος του. Το

Z \in AH

ώστε

ZH=BH

.

: Μέσος και λόγος .png (19.98 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές

Η

τέμνει την

στο

και το

E \in NC

ώστε

ZE\parallel BC

. Αν δοθεί EN=1

και το

είναι αριθμητικός μέσος των

AZ,ZE

τότε :

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ZEN \right )}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Κυρ Ιούλ 05, 2026 12:22 pm Χαιρετώ.

Το τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $R=2\sqrt{2}$ και ύψος του. Το $Z \in AH$ ώστε $ZH=BH$ .
Μέσος και λόγος .png
Η τέμνει την στο και το $E \in NC$ ώστε $ZE\parallel BC$ . Αν δοθεί και το είναι αριθμητικός μέσος των $AZ,ZE$ τότε :

Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( ZEN \right )}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Με

BN \cap (q)=K

και λόγω των σημειωμένων γωνιών 45^0

το

AKEZ

είναι εγγράψιμμο με

AK=KE

Από Πτολεμαίο

AZ.KE+ΖΕ.AΚ=AE.ZK \Rightarrow AZ.KE+ΖΕ.ΚE= KE \sqrt{2} .ZK

\Rightarrow AZ+ZE= \sqrt{2} .ΖΚ \Rightarrow 2HC=\sqrt{2} .ΖΚ \Rightarrow \dfrac{ZK}{HC}= \sqrt{2}

Αλλά και

\dfrac{BZ}{BH}= \sqrt{2}

άρα

\dfrac{ZK}{HC}=\dfrac{BZ}{BH} \Rightarrow KC//AH \Rightarrow KC \bot BC \Rightarrow \angle BKC= \angle BAC=45^0

Επιπλέον,

\angle ACB= \angle AEZ

,άρα

\triangle ABC \simeq \triangle NEZ \Rightarrow \dfrac{(ABC}{(ZEN)} = \dfrac{BC^2}{NE^2}=BC^2

Αλλά

BK^2=2BC^2 \Rightarrow (4 \sqrt{2})^2=2BC^2 \Rightarrow BC^2=16

.Άρα

\dfrac{(ABC}{(ZEN)} = 16

: Μέσος και λόγος.png (29.43 KiB) Προβλήθηκε 27 φορές

Μέσος και λόγος

Μέσος και λόγος

Re: Μέσος και λόγος

Μέλη σε σύνδεση