U736 i ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Σας προτείνω το πρώτο σκέλος από το θέμα U736 των Mathematical Reflections, τεύχος 3 του 2026.
Η ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε, μπορώ λοιπόν να το θέσω.
Το πρότεινε ο Shilong Zhuang από την Καλιφόρνια των Η.Π.Α.

Δίνονται οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί a,b,c.

Aποδείξτε ότι η συνθήκη

\left( a-b \right)^{2}+\left( b-c^{} \right)^{2}+\left( c-a \right)^{2}\neq 0

είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για να υπάρχει μη σταθερή ακολουθία

x_{n}

τέτοια ώστε για κάθε $n\in \mathbb{N}$ να ισχύει

\frac{3}{2}\le x_{n}\le \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}

και με

\lim_{n \rightarrow +\infty} x_{n} =\frac{3}{2}

#2

Θα δείξουμε πρώτα ότι

\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\underset{}{\geq }\frac{3}{2}\,\,\,(\ast)

και ότι η ισότητα στην $(\ast)$ ισχύει αν και μόνο αν a=b=c

.
Θέτουμε

b+c=u,\,\,\,c+a=v,\,\,a+b=w

και λύνοντας ως προς a, b, c

βρίσκουμε

a=\frac{1}{2}\left( v-u+w\right) ,\,\,\,b=\frac{1}{2}\left( -v+u+w\right) ,\,\,c=\frac{1}{2}\left( v+u-w\right)

.
Έτσι έχουμε ότι η $(\ast)$ ισοδυναμεί με την

\frac{v+w-u}{u}+\frac{u+w-v}{v}+\frac{v+u-w}{w}\underset{}{\geq }3

δηλαδή με την

\left( \frac{u}{v}+\frac{v}{w}+\frac{w}{u}\right) +\left( \frac{v}{u}+\frac{u}{w}+\frac{w}{v}\right) \geq 6\,\,\,(\ast\ast)

Είναι γνωστο ότι αν το γινόμενο κάποιων θετικών αριθμών είναι

τότε το άθροισμα τους είναι μεγαλύτερο ή ίσο του πλήθους τους και η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν οι αριθμοί είναι όλοι

. Αυτό προκύπτει από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου του Cauchy αλλά και ως αυτοτελής πρόταση αποτελεί λήμμα της.
Έτσι έχουμε ότι η $(\ast\ast)$ αληθεύει, η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν

u=v=w

και επομένως η $(\ast)$
αληθεύει και η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν a=b=c

.

Ας υποθέσουμε ότι αληθεύει

\left( a-b\right) ^{2}+\left( b-c\right) ^{2}+\left( c-a\right) ^{2}\neq 0

. Τότε δύο τουλάχιστον αριθμοι από τους

,

είναι διάφοροι και η $(\ast)$ ισχύει ως γνήσια ανισότητα. Τότε μπορούμε να βρούμε μια γνησίως φθίνουσα ακολουθία $(x_{n})$ με όλους τους όρους στο διάστημα

\left( \frac{3}{2},p\right)

όπου

p=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}

που να συγκλίνει στο $\frac{3}{2}$ . Μια επιλογή είναι η

x_{n}=\frac{3}{2}+\frac{p-\frac{3}{2}}{n+1}

.

Αντιστρόφως αν υπάρχει μη σταθερή ακολουθία $x_{n}$ ώστε

\frac{3}{2}\leq x_{n}\leq p

αδιάφορο από το αν συγκλίνει στο $\frac{3}{2}$ θα έχουμε ότι

p>\frac{3}{2}

η $(\ast)$ ισχύει ως γνήσια ανισότητα, οι

,

δεν είναι μεταξύ τους ίσοι και εξασφαλίζεται η συνθήκη

\left( a-b\right) ^{2}+\left( b-c\right) ^{2}+\left( c-a\right) ^{2}\neq 0

.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Να ευχαριστήσω το Νίκο Μαυρογιάννη για τη λύση. Ακριβώς έτσι σκέφτηκα κι εγώ.Δεν νομίζω ότι υπάρχει κάτι άλλο. Απλά να αναφέρω ότι η ανισότητα που χρειάζεται στη λύση είναι η ανισότητα του Nesbitt, γνωστή σε όσους ασχολούνται με θέματα διαγωνισμών.

U736 i ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

U736 i ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U736 i ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Re: U736 i ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS

Μέλη σε σύνδεση