Βρείτε τη γωνία χ (14)

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται ${\rm B}\widehat{\rm A}\Delta = {6^ \circ }$ , $\Gamma \widehat{\rm A}\Delta = {18^ \circ }$ , ${\rm B}\widehat\Gamma \Delta = {24^ \circ }$ και ${\rm A}\widehat\Gamma \Delta = {54^ \circ }$ . Βρείτε τη γωνία $\Gamma \widehat{\rm B}\Delta = x$ .

: x14.jpg (55.73 KiB) Προβλήθηκε 1031 φορές

chris · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #3

Καλησπέρα , μια λύση που προτείνω είναι η εξής :
Κατασκευάζω ισόπλευρο τρίγωνο ΑΓΚ με το Κ σε εκείνο το ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ΑΒ και στο οποίο δεν ανήκει το Δ .
$K\hat{\Gamma }\Delta = 60-54=6^{o}$
Η ΓΔ τέμνει την ΑΚ στο Λ .
Στη ΓΛ θεωρούμε σημείο Μ τέτοιο ώστε ΜΓ = ΜΑ . Έστω Ν η τομή των ΑΜ , ΚΓ .
$M\hat{\Gamma }A=M\hat{A}\Gamma =54^{o}$
ΑΚ = ΑΒ και άρα $K\hat{A}B=36^{o} \Rightarrow \Lambda A\hat{M}= 36-30=6^{0}$
Τα τρίγωνα ΛΑΜ , ΜΝΓ είναι ίσα γιατί ΜΑ = ΜΓ , και ισογώνια άρα ΑΛ = ΝΓ και επειδή ΚΑ =ΚΓ τελικά ΚΛ = ΚΝ .
Στη γωνία ΑΚΓ = 60° , ισχύουν οι ισότητες : ΚΛ = ΚΝ , ΚΑ = ΚΓ ,άρα ΚΜ = διχοτόμος της ΑΚΓ ,άρα ΜΚΓ = 30°.
Επίσης το ΑΜΔ είναι ισοσκελές αφού $A\hat{M} \Delta =180-2\cdot 54=72^{0} , A\hat{\Delta }M=54+18=72^{o}$
άρα ΑΜ = ΑΔ .
Τώρα ήρθε η ώρα να συγκρίνουμε τα ΚΜΓ , ΑΔΒ(ίσα γιατί ΑΔ = ΑΜ , ΑΚ = ΑΒ , $K\hat{A}M=B\hat{A}\Delta = 6^{o}$ )
άρα $M\hat{K}\Gamma = A\hat{B}\Delta = 30^{o}$ .
Τελικά χ = 78° - 30° = 48°.//

Ιστοσελίδα · #4

Ευχαριστώ τον Γιάννη για τη λύση του.
Άλλη μια Γεωμετρική αντιμετώπιση.

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ${\rm A}\widehat{\rm B}\Gamma = {78^ \circ }$ . Με κέντρο Β και ακτίνα ΒΓ φτιάχνω κύκλο που τέμνει την προέκταση του ΓΔ στο Ε. Το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισοσκελές με ${\rm B}\widehat{\rm E}\Gamma = {24^ \circ }$ . Το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είναι εγγράψιμο ( ${\rm B}\widehat{\rm E}\Gamma = {\rm B}\widehat{\rm A}\Gamma = {24^ \circ }$ ), οπότε ${\rm A}\widehat{\rm B}{\rm E} = {54^ \circ }$ και ${\rm A}\widehat{\rm E}\Gamma = {78^ \circ }$ . Με κέντρο Ε και ακτίνα ΕΔ φτιάχνω κύκλο που τέμνει την προέκταση του ΒΕ στο Ζ. Το τρίγωνο ΕΔΖ είναι ισοσκελές με ${\rm E}\widehat{\rm Z}\Delta = {\rm E}\widehat\Delta {\rm Z} = {12^ \circ }$ και έστω Η το σημείο τομής της ΑΕ με τη ΖΔ. Εφόσον ΕΗ διχοτόμος θα είναι και μεσοκάθετος. ΗΖ=ΗΔ, ΗΑ κοινή και τα ορθογώνια τρίγωνα ΗΑΔ και ΗΖΑ είναι ίσα. Εφόσον ${\rm Z}\widehat\Delta {\rm A} = {60^ \circ }$ (παραπληρωματική) προκύπτει ότι το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισόπλευρο με ${\rm H}\widehat{\rm A}{\rm B} = {30^ \circ }$ . Το τρίγωνο ΒΖΑ είναι ισοσκελές ( ${\rm Z}\widehat{\rm B}{\rm A} = {\rm Z}\widehat{\rm A}{\rm B} = {54^ \circ }$ ) άρα θα έχω ότι ΖΒ=ΖΔ που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΖΒΔ είναι ισοσκελές. Αφού ${\rm B}\widehat{\rm Z}\Delta = {12^ \circ }$ και ${\rm Z}\widehat{\rm B}{\rm A} = {54^ \circ }$ , προκύπτει ότι $\Delta \widehat{\rm B}{\rm A} = {30^ \circ }$ και μια που $\Gamma \widehat{\rm B}{\rm A} = {78^ \circ }$ , θα έχω ότι $\widehat\chi = {48^ \circ }.$

: x14-sol.png (70.08 KiB) Προβλήθηκε 880 φορές

Βρείτε τη γωνία χ (14)

Βρείτε τη γωνία χ (14)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (14)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (14)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (14)

Μέλη σε σύνδεση