Βάλε τους αριθμούς σωστά.png

[Mihalis_Lambrou]

Βάλεε τους αριθμούς σωστά.png (16.11 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές

.
Τοποθετούμε τους αριθμούς έως , ανά έναν, στους κύκλους στο παραπάνω σχήμα. Το άθροισμα των αριθμών στην αριστερή στήλη είναι . Το άθροισμα των αριθμών στην δεξιά στήλη είναι επίσης και το άθροισμα των αριθμών στην κάτω οριζόντια γραμμή είναι . Ποιος αριθμός βρίσκεται στον κύκλο σημειωμένο με ;

[kfd]

Όλοι μαζί άθροισμα 55, η αριστερή και δεξιά στήλη 48, άρα οι 2 μεσαίοι κύκλοι άθροισμα 7. Αν στον κάτω μεσαίο κύκλο μπει μικρότερο του 6 δεν θα βγαίνει το 25, γιατί το μεγαλύτερο άθροισμα 2 αριθμών από τους δοσμένους είναι 19. Άρα χ=1.

[Mihalis_Lambrou]

Άρα χ=1.

Ωραία λύση αλλά μπορείς παρακαλώ να εξηγήσεις το "Άρα". Άν και σωστό, θεωρώ ότι χρειάζεται εξήγηση. Σίγουρα δεν το βλέπει κάποιος που δεν έλυσε ανεξάρτητα το πρόβλημα.

[kfd]

3 ζεύγη άθροισμα 7:(1,6),(2,5),(3,4). Βγάζω έξω το 6 και κανένα δεν έχει άθροισμα 25 με τους λοιπούς, αφού 19+5=24.

[Mihalis_Lambrou]

Βάλεε τους αριθμούς σωστά.png
.
Τοποθετούμε τους αριθμούς έως , ανά έναν, στους κύκλους στο παραπάνω σχήμα. Το άθροισμα των αριθμών στην αριστερή στήλη είναι . Το άθροισμα των αριθμών στην δεξιά στήλη είναι επίσης και το άθροισμα των αριθμών στην κάτω οριζόντια γραμμή είναι . Ποιος αριθμός βρίσκεται στον κύκλο σημειωμένο με ;

Βάλε.png (21.95 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές

.
Λίγο αλλιώς:

Το μέγιστο δυνατό άθροισμα των αθροισμάτων των αριθμών στις δύο στήλες και στην κάτω οριζόντια γραμμή, όπου εμφανίζονται αριθμοί από τους οποίους οι δύο γωνιακοί επαναλαμβάνονται, είναι . Αλλά το ίδιο αυτό άθροισμα από το σχήμα της άσκησης είναι , δηλαδή το ίδιο με πριν. Αυτή η παρατήρηση είναι ουσιαστική. Σημαίνει ότι στους 9 κύκλους υπάρχει μόνο μία επιλογή αριθμών, και συγκεκριμένα οι αριθμοί έως με τους και να είναι στους γωνιακούς κύκλους (μέγιστο άθροισμα). Ο αριθμός που περισσεύει είναι ο , ο οποίος υποχρεωτικά μπαίνει στον κίτρινο κύκλο.

Αν θέλουμε να δούμε διευθέτηση των αριθμών έως όπως το απαιτεί η άσκηση, για να εξακριβώσουμε ότι η κατάσταση είναι πραγματική, παραθέτουμε το παραπάνω σχήμα. Δεν είναι δύσκολο να συμπληρωθεί καθώς οι και είναι στα δύο κάτω γωνιακά. Το κάτω μεσαίο είναι υποχρεωτικά το . Στην αριστερή στήλη οι τρεις πάνω κύκλοι πρέπει να έχουν άθροισμα (οπότε ο ένας πρέπει να είναι περιττός) και οι τρεις πάνω δεξιά πρέπει να έχουν άθροισμα . Σε αυτούς πρέπει να μοιράσουμε τους αριθμούς έως , που είναι απλό θέμα.

[Γιώργος Ρίζος]

Καλησπέρα σε όλους. Μία ακόμα προσέγγιση σε αυτό το ωραίο πρόβλημα αποκλεισμού περιπτώσεων.

Ξετυλίγουμε το σχήμα σε ευθεία. Τα είναι τα κάτω γωνιακά κυκλάκια που μετριούνται δύο φορές.

27-07-2026 Διασκεδαστικά μαθηματικά b.jpg (25.24 KiB) Προβλήθηκε 54 φορές

Τότε οπότε .

Αν στην κάτω οριζόντια γραμμή είναι κάποιος από τους αριθμούς , για να έχουμε άθροισμα ίσο με , οι άλλοι δύο θα έπρεπε να δίνουν άθροισμα τουλάχιστον , που είναι αδύνατο.

Από τους αριθμούς , οι τριάδες με άθροισμα είναι και .

Άρα σίγουρα ο ή ο είναι . Έστω . Τότε . Μόνη δυνατή περίπτωση .

edit: Η διάταξη αυτή είναι εφικτή. Το απέδειξε ο Μιχάλης στην παραπάνω ανάρτηση.