Eξίσωση

mick7 · #1

Λύστε την εξίσωση:

\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2+2x} = 4 - \left|\sin\frac{\pi(x-1)}{4}\right|

#2

mick7 έγραψε: Δευ Ιούλ 27, 2026 5:11 am Λύστε την εξίσωση:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2+2x} = 4 - \left|\sin\frac{\pi(x-1)}{4}\right|$

Απάντηση:

Επειδή η

\left(\dfrac{1}{3}\right)^{a}

είναι γνήσια φθίνουσα συνάρτηση του

και επειδή

x^2+2x=(x+1)^2-1 \ge -1

έχουμε

3 =\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \le \left(\frac{1}{3}\right)^{x^2+2x} = 4 - \left|\sin\frac{\pi(x-1)}{4}\right|\le 4-1=3

Έπεται ότι έχουμε ισότητα παντού. Ειδικά

\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{x^2+2x}

, ισοδύναμα

-1= x^2+2x

, από όπου x=-1

(διπλή ρίζα). Παρατηρούμε ότι το x=-1

ικανοποιεί την αρχική εξίσωση γιατί τότε

\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2+2x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3 = 4 - \left|-\sin\frac{\pi}{2}\right|= 4 - \left|\sin\frac{\pi(x-1)}{4}\right|