Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

STOPJOHN · #1

Στα δυο τετράγωνα του σχήματος ισχύει

AQ=AC

Να υπολογισθεί η γωνία

\hat{QAC}

#2

STOPJOHN έγραψε: Τετ Αύγ 12, 2026 12:15 pm Στα δυο τετράγωνα του σχήματος ισχύει $AQ=AC$ Να υπολογισθεί η γωνία $\hat{QAC}$

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι

AQ=AC=a\sqrt 2

και με Π.Θ στο APQ

βρίσκω

{a^2} - 2ab - 2{b^2} = 0 \Leftrightarrow a = b(1 + \sqrt 3 )

: Γωνία σε δύο τετράγωνα.png (8.41 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές

\tan \theta = \frac{b}{{a + b}} = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = 2 - \sqrt 3 \Rightarrow \theta = 15^\circ

Άρα,

\boxed{Q\widehat AC=30^\circ}

Έχω και λύση χωρίς τριγωνομετρία. Θα τη γράψω αργότερα αν δεν απαντηθεί μέχρι τότε.

#3

STOPJOHN έγραψε: Τετ Αύγ 12, 2026 12:15 pm Στα δυο τετράγωνα του σχήματος ισχύει $AQ=AC$ Να υπολογισθεί η γωνία $\hat{QAC}$

Βρίσκω όπως και προηγουμένως,

a=b+b\sqrt 3

και παίρνω Πυθαγόρειο στο QRC

: Γωνία σε δύο τετράγωνα.b.png (9.55 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές

Q{C^2} = {b^2} + {(a - b)^2} = {b^2} + 3{b^2} = 4{b^2} \Leftrightarrow QC = 2b = 2QR

Άρα,

Q\widehat CD=30^\circ,

οπότε

Q\widehat CA=C\widehat QA=75^\circ

και

\boxed{Q\widehat AC=30^\circ}

KARKAR · #4

: Παραλλαγή.png (6.95 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

Στην "γωνιά"

του τετραγώνου ABCD

, σχεδιάζουμε το μικρότερο

τετράγωνο BEZH

, έτσι ώστε : AE=DZ

. Υπολογίστε την $\widehat{EAB}$ .

#5

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 13, 2026 11:01 am Παραλλαγή.png Στην "γωνιά" του τετραγώνου , σχεδιάζουμε το μικρότερο

τετράγωνο , έτσι ώστε : . Υπολογίστε την $\widehat{EAB}$ .

.

: Εύρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα_Απο KARKAR.png (18.44 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές

.
Το τρίγωνο SAE

είναι ισόπλευρο γιατί διαδοχικά :

AE = AK = DZ = SE\,

και

\vartriangle ABE = \vartriangle ASD

.

Κατά συνέπεια,

\widehat {EAS} = 60^\circ \Rightarrow \theta = 15^\circ

.

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 13, 2026 11:01 am Παραλλαγή.png Στην "γωνιά" του τετραγώνου , σχεδιάζουμε το μικρότερο

τετράγωνο , έτσι ώστε : . Υπολογίστε την $\widehat{EAB}$ .

Εστω

AB=a,HB=b,AH=EC=a-b

προφανώς

SZPD

είναι τετράγωνο αρα τα σημεία

D,Z,B

είναι συνευθειακά .Τα ορθογώνια και ισοσκελη τρίγωνα

HZB,JPC

είναι ίσα οπότε

AJ=AE, \hat{EAB}=\theta

DZ=AE\Rightarrow b^{2}+a^{2}=2(a-b)^{2}\Rightarrow \dfrac{b}{a}=2-\sqrt{3}=tan15

Αρα

\hat{\theta }=15^{0}

#7

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 13, 2026 11:01 am Παραλλαγή.png Στην "γωνιά" του τετραγώνου , σχεδιάζουμε το μικρότερο

τετράγωνο , έτσι ώστε : . Υπολογίστε την $\widehat{EAB}$ .

: Εύρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα_Απο KARKAR_ok.png (20.94 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: Πέμ Αύγ 13, 2026 11:01 am Παραλλαγή.png Στην "γωνιά" του τετραγώνου , σχεδιάζουμε το μικρότερο

τετράγωνο , έτσι ώστε : . Υπολογίστε την $\widehat{EAB}$ .

Με

DK//AE\Rightarrow KDAE

παραλ/μο άρα

KE=DA=AB=CD

οπότε

KC=EB=ZE

Έτσι,

\triangle DKC= \triangle KZE= \triangle AEB \Rightarrow KZ=AE=DZ=DK

δηλαδή το τρίγωνο KDZ

είναι ισόπλευρο

Συνεπώς

\angle 45^0+ \theta =60^0 \Rightarrow \theta =15^0

(Προφανώς

D,Z,B

είναι συνευθειακά)

: Εύρεση γωνίας ....png (21.92 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

Ιστοσελίδα · #9

STOPJOHN έγραψε: Τετ Αύγ 12, 2026 12:15 pm Στα δυο τετράγωνα του σχήματος ισχύει $AQ=AC$ Να υπολογισθεί η γωνία $\hat{QAC}$

: shape.png (17.32 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές

Στρέφουμε το τρίγωνο APQ

κατά ${90^ \circ }$ ως προς το

(τρίγωνο

AP'Q'

).

Το

\triangle QAQ'

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και το

\triangle CAQ'

ισόπλευρο από την ισότητα των

\triangle DAQ, \triangle BCQ'\,(\Pi - \Gamma - \Pi )

.

Έτσι, εύκολα η ζητούμενη γωνία είναι

{90^ \circ } - {60^ \circ } = {30^ \circ }

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #10

STOPJOHN έγραψε: Τετ Αύγ 12, 2026 12:15 pm Στα δυο τετράγωνα του σχήματος ισχύει $AQ=AC$ Να υπολογισθεί η γωνία $\hat{QAC}$

Η κάθετη από το

στην

τέμνει τον κύκλο (A,r)

στο

οπότε

\angle LAK=45^0- \phi = \theta

και τα τρίγωνα

APQ,AKL

είναι ίσα ,άρα

PQ=LK=//QR\Rightarrow QRKL

παραλ/μμο άρα

QL=RK=r

(αφού

RCBA

είναι ισοσκελές τραπέζιο)

Επόμένως το τρίγωνο AQL

είναι ισόπλευρο,συνεπώς

\phi =30^0 \Rightarrow \theta =15^0

: Εύρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα.png (65.91 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #11

Χρόνια πολλά σε όλους!

STOPJOHN έγραψε: Τετ Αύγ 12, 2026 12:15 pm Στα δυο τετράγωνα του σχήματος ισχύει $AQ=AC$ Να υπολογισθεί η γωνία $\hat{QAC}$

Με την κατανόηση σας για την έλλειψη σχήματος..
Θεωρώ το

συμμετρικό του

ως προς το

Όπως ο Γιώργος στο#2 είναι

a^2-2ab=2b^2

. Από Γ.Π.Θ στο τρίγωνο DQC

παίρνουμε

QC^2=2b^2+a^2-2ab=4b^2

Δηλ.

QC=2b=LQ

. Τα τρίγωνα λοιπόν

CAQ, LAQ

είναι ίσα (ΠΠΠ) άρα γωνίες

QAC=LAQ=2\theta

. Έτσι έχουμε

3 \theta =45^o

οπότε

Q \widehat A C=2 \theta=30^o

.

Φιλικά, Γιώργος.

Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

Re: Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

Re: Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

Re: Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

Re: Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

Re: Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

Re: Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

Re: Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

Re: Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

Re: Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

Re: Ευρεση γωνίας σε δυο τετράγωνα

Μέλη σε σύνδεση