Ευρεση δυο γωνιών

STOPJOHN · #1

Σε τρίγωνο ABC

δίνονται

\hat{CAD}=24^{0},\hat{DAB}=6^{0},\hat{DBA}=18^{0},\hat{DBC}=78^{0}

και σημείο

εσωτερικό του τριγώνου Να υπολογισθούν οι γωνίες

\hat{ACD}=x,\hat{DCB}=y

Dimessi · #2

$\bullet$ Ο κύκλος (D,DB)

επανατέμνει την ευθεία

στο

και η εκ του

κάθετη στην

τέμνει την

στο

και

\vartriangle DSJ

ισόπλευρο.
Είναι

\angle TBC=\angle DCB-\left(90^\circ-\dfrac{\angle BDC}{2} \right)=6^\circ=\angle ACB-90^\circ\overset{DJ\perp AC}=\angle DJB\Longrightarrow DJ\parallel TB

\Longrightarrow \dfrac{BJ}{BC}=\dfrac{DT}{TC}=\dfrac{DB}{DB-DC}=\dfrac{\sin 18^\circ}{\sin 18^\circ-\sin 6^\circ}=\dfrac{\sin 18^\circ}{2\cos 12^\circ\sin 6^\circ}\overset{(\ast)}=\dfrac{\cos^26^\circ}{\cos^236^\circ}=\dfrac{\sin^296^\circ}{\sin^254^\circ}=\dfrac{BA^2}{BC^2}\Longrightarrow BJ\cdot BC=BA^2

\left ( \ast \right ):\cos 12^\circ\sin 12^\circ\cos 6^\circ=\sin 18^\circ \cos^236^\circ\Longleftrightarrow \sin 24^\circ \cos 6^\circ=\sin 18^\circ\left ( 1+\sin 18^\circ \right )

\Longleftrightarrow \sin 18^\circ+\sin 30^\circ=2\sin 18^\circ(1+\sin 18^\circ)\Longleftrightarrow 4\sin^218^\circ+2\sin 18^\circ-1=0,

που ισχύει αφού

\sin 18^\circ=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}.

Επομένως

\angle BJA=\angle BAC=54^\circ=\angle DJS-\angle DJB=\angle BJS

κι αφού

\angle DJB=\angle DBJ=6^\circ \Longrightarrow DB=DJ=DS

\Longrightarrow \angle JBS=\dfrac{\angle JDS}{2}=30^\circ=\angle JBA,

άρα η

διχοτομεί τις γωνίες

\angle AJS

και

\angle ABS\Longrightarrow

\vartriangle BAJ=\vartriangle BJS\Longrightarrow BS=BA

\overset{\angle SBA=60^\circ}\Longrightarrow \vartriangle BAS

ισόπλευρο

\overset{DB=DS} \Longrightarrow AD

μεσοκάθετος του

SB \Longrightarrow \boxed{\angle DAB=30^\circ}

STOPJOHN · #3

Για το σχήμα 1

AM=MD,\hat{MAD}=6^{0}=\hat{MDA},MDB(18,12,150),BMN(36,72,72),MND(60,60,60),

Αρα το σημείο

είναι το περίκεντρο στο τρίγωνο ADN

\hat{NAM}=36^{0}\Rightarrow ANB(36,108,36),MA=NB,

Από το λήμμα ισχύει

\hat{ANB}=2\hat{ACB}\Rightarrow NA=NB=NC,NBC(60,60,60),\hat{NDB}=150^{0} \Rightarrow CN=CD=CB\Rightarrow x=30,y=24

H αποδειξη στο λήμμα είναι απλή