Αφύσικος φυσικός

#1

.
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί φυσικοί αριθμοί

τέτοιοι ώστε o

\sqrt [n]{n+7}

είναι φυσικός.

(Είδα παραλλαγή της σε ξένη εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα, και μου άρεσε. Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας του Γυμνασίου. )

Fotis34 · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 23, 2026 9:07 am .
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε o $\sqrt [n]{n+7}$ είναι φυσικός.

(Είδα παραλλαγή της σε ξένη εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα, και μου άρεσε. Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας του Γυμνασίου. )

Θέτουμε

\sqrt[n]{n+7}=k,\quad k\in\mathbb{N}.

για

n\geq4\Rightarrow n+7<2^n

άρα

\sqrt[n]{n+7}<\sqrt[n]{2^n}=2.

Επειδή $k\in\mathbb{N}$ και

n+7>1

, έχουμε

. Επομένως

1<k<2,

άτοπο.
Ελέγχουμε n=1,2,3

:

\sqrt[1]{8}=8,\qquad \sqrt[2]{9}=3,\qquad \sqrt[3]{10}\notin\mathbb{N}.

Άρα

\boxed{n\in\{1,2\}}.

#3

.

αλλά εδώ
.

Fotis34 έγραψε: Κυρ Αύγ 23, 2026 10:57 am $n\geq4\Rightarrow n+7<2^n$

.

είναι μεν σωστό, αλλά χρειάζεται απόδειξη/τεκμηρίωση.

Dinhoo37 · #4

Απόδειξη του

n + 7 < 2^n

για φυσικό $n \geq 4$ :

Έστω

f(n) = n+7

και

g(n) = 2^n

. Θα δείξουμε ότι για κάθε φυσικό

, τέτοιο ώστε

g(n) > f(n)

ισχύει

g(n+1) > f(n+1)

. Έστω ότι ισχύει

g(n) > f(n)

. Τότε,

2g(n) > 2f(n) = 2n + 14 > n+8 = f(n+1) = f(n) + 1

αφού $n \geq 1$ . Αλλά,

2g(n) = 2^{n+1} = g(n+1)

, άρα όντως

g(n+1) > f(n+1)

.

Βλέπουμε ότι

g(4) > f(4)

και ως αποτέλεσμα ισχύει

g(n) > f(n)

για κάθε $n \geq 4$ .

Fotis34 · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 23, 2026 12:18 pm .

αλλά εδώ
.
Fotis34 έγραψε: Κυρ Αύγ 23, 2026 10:57 am $n\geq4\Rightarrow n+7<2^n$
.

είναι μεν σωστό, αλλά χρειάζεται απόδειξη/τεκμηρίωση.

Εύκολα με μαθηματική επαγωγή.

Αφύσικος φυσικός

Αφύσικος φυσικός

Re: Αφύσικος φυσικός

Re: Αφύσικος φυσικός

Re: Αφύσικος φυσικός

Re: Αφύσικος φυσικός

Μέλη σε σύνδεση