Η ομορφιά των πράξεων

KARKAR · #1

: Η ομορφιά των πράξεων.png (15.83 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές

Στο ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r

, το

είναι το μέσο της

. Σημείο

κινείται στο τόξο .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής

, της εφαπτομένης του τόξου στο σημείο

και της κάθετης προς το

στο σημείο

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Αύγ 28, 2026 5:22 pm Η ομορφιά των πράξεων.pngΣτο ημικύκλιο διαμέτρου , το είναι το μέσο της . Σημείο κινείται στο τόξο .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής , της εφαπτομένης του τόξου στο σημείο

και της κάθετης προς το στο σημείο .

.

Έστω

, όπου

(*). Είναι

M\left ( \dfrac {r}{2},0\right)

. Η κλίση της

είναι $\dfrac {b}{a}$ άρα η εξίσωση της εφαπτομένης στο

είναι

y=-\dfrac {a}{b}(x-a)+b

. Iσοδύναμα

y=\dfrac {-ax+(a^2+b^2)}{b}=^{(*)} \dfrac {-ax+r^2}{b}

.

H

έχει εξίσωση

y= - \dfrac {a- \dfrac {r}{2}}{b}\left (x- \dfrac {r}{2}\right )

. Οπότε λύνοντας το σύστημα των δύο τελευταίων θα βρούμε το σημείο τομής τους T(x,y)

αλλά ζητάμε σχέση μεταξύ των $x,\,y$ . Βολεύει να λύσουμε ως προς $a,\, b$ για να χρησιμοποιήσουμε την (*). Θα βρούμε

a = \dfrac {5}{2} r-x,\, b = \dfrac {1}{2y}(2r^2-5rx+2x^2)

. Άρα η εξίσωση του τόπου είναι

\boxed {\left ( \dfrac {5}{2} r-x\right)^2+ \dfrac {1}{4y^2}(2r^2-5rx+2x^2)^2=r^2}

Σχόλιο. Φυσικά μπορούμε να απλοποιήσουμε την παράσταση, αλλά δεν αξίζει το μελάνι αφού δεν κερδίζουμε τίποτα ουσιαστικό. Ακριβέστερα, δεν βλέπω το νόημα της άσκησης δεδομένου ότι είναι μηδενικής φαντασίας και υπάρχουν ουσιαστικά παρόμοιες κατά χιλιάδες στην βιβλιογραφία. Μόνο τα νούμερα αλλάζουν ή τα σχήματα έχουν επουσιώδεις παραλλαγές. Οι πολλές πράξεις μάλλον αποτρέπουν τους μαθητές μας από τα δημιουργικά Μαθηματικά.

KARKAR · #3

Όπως υποδηλώνει ο τίτλος της άσκησης και οι πράξεις έχουν ενίοτε κάποια ομορφιά . Συγκεκριμένα

ο αναγνώστης αναζητά ( αν αυτό είναι δυνατόν ) , την έκφραση της καμπύλης

συναρτήσει του

.

Στην προκειμένη περίπτωση , μετά από ενδιαφέρουσες πράξεις , θα καταλήξουμε στην συνάρτηση :

y=f(x)=\dfrac{2x^2-5rx+2r^2}{\sqrt{-4x^2+20rx-21r^2}} , \dfrac{3r}{2}<x<\dfrac{7r}{2}

.

#4

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 29, 2026 12:39 pm Όπως υποδηλώνει ο τίτλος της άσκησης και οι πράξεις έχουν ενίοτε κάποια ομορφιά . Συγκεκριμένα

ο αναγνώστης αναζητά ( αν αυτό είναι δυνατόν ) , την έκφραση της καμπύλης συναρτήσει του .

Στην προκειμένη περίπτωση , μετά από ενδιαφέρουσες πράξεις , θα καταλήξουμε στην συνάρτηση :

$y=f(x)=\dfrac{2x^2-5rx+2r^2}{\sqrt{-4x^2+20rx-21r^2}} , \dfrac{3r}{2}<x<\dfrac{7r}{2}$ .

Θα ήθελα να μάθω πώς ορίζονται οι ενδιαφέρουσες πράξεις.

#5

george visvikis έγραψε: Σάβ Αύγ 29, 2026 1:57 pm Θα ήθελα να μάθω πώς ορίζονται οι ενδιαφέρουσες πράξεις.

.
Έχω ακριβώς την ίδια απορία.

Κατά την άποψή μου, ο τίτλος «Η ομορφιά των πράξεων» προϋποθέτει την ύπαρξη κάποιας μαθηματικής κομψότητας, ευρηματικότητας ή απροσδόκητης ιδέας. Στις συγκεκριμένες πράξεις, όμως, δυσκολεύομαι να διακρίνω οτιδήποτε πέρα από μια απολύτως συνηθισμένη και ανιαρή ακολουθία τυπικών υπολογισμών. Η απόδοση σε αυτές του χαρακτηρισμού ως ιδιαίτερου ενδιαφέροντος ή αισθητικής αξίας μου φαίνεται περισσότερο αποτέλεσμα ρητορικής υπερβολής παρά αντικειμενικής αξιολόγησης των Μαθηματικών τους χαρακτηριστικών.

KARKAR · #6

george visvikis έγραψε: Σάβ Αύγ 29, 2026 1:57 pm Θα ήθελα να μάθω πώς ορίζονται οι ενδιαφέρουσες πράξεις.

Γιώργο , οι έννοιες "ενδιαφέρουσα" και "όμορφη" , είναι υποκειμενικές και συνεπώς δεν ορίζονται .

Παραθέτω πάντως την λύση μου σε μια απλοποιημένη εκδοχή του θέματος ( για r=2

) ελπίζοντας

ότι ο αναγνώστης θα βρει σ' αυτή ψήγματα ομορφιάς .

: Παράδειγμα ομορφιάς.png (14.9 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές

Είναι :

ax+by=4

, δηλαδή :

y=\dfrac{4-ax}{b}

. Επίσης :

(x-1 ,y)\cdot(a-1 ,b)=0

,

οπότε :

y=\dfrac{(x-1)(1-a)}{b}

. Εξισώνοντας :

a=5-x

και επειδή : -2<a<2

, είναι :

3<x<7

.

Αντικαθιστώντας :

y=f(x)=\dfrac{x^2-5x+4}{\sqrt{-x^2+10x-21}} , 3<x<7

. Έτσι βρίσκουμε την καμπύλη

σαν γραφική παράσταση συνάρτησης (και με το πεδίο ορισμού ) , πράγμα που κατά την άποψή μου

είναι επιθυμητό ( αν είναι εφικτό ) .

#7

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 29, 2026 4:07 pm Γιώργο , οι έννοιες "ενδιαφέρουσα" και "όμορφη" , είναι υποκειμενικές και συνεπώς δεν ορίζονται .

.
Θανάση δεν ξέρω γιατί επιμένεις. Ίσα-ίσα βλέπω ότι προσπαθείς να μας παραπλανήσεις ώστε να "αποδείξεις" ότι η μέθοδός σου έχει ομορφιά. Και λέω ότι προσπαθείς να μας παραπλανήσεις διότι η λύση μου και η λύση σου είναι ακριβώς οι ίδιες με μόνη διαφορά ότι πήρα γενικό

(όπως άλλωστε απαιτεί άσκηση) ενώ εσύ πήρες r=2

που τα πράγματα γίνονται ευκολότερα ως προς τις πράξεις. Για παράδειγμα κατέγραψα την εξίσωση της εφαπτομένης ως
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Αύγ 28, 2026 6:20 pm Iσοδύναμα $y=\dfrac {-ax+(a^2+b^2)}{b}=^{(*)} \dfrac {-ax+r^2}{b}$ .

.
ενώ εσύ γράφεις
.

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 29, 2026 4:07 pm Είναι : $ax+by=4$ , δηλαδή : $y=\dfrac{4-ax}{b}$ .

.
που είναι το ίδιο, αλλά το μαγείρεψες να φαίνεται απλό.

Επίσης, έλαβα γενικό

Μ \left ( \dfrac {r}{2}, 0\right )

(όπως απαιτεί η άσκηση) οπότε η

βγαίνει
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Αύγ 28, 2026 6:20 pm H έχει εξίσωση $y= - \dfrac {a- \dfrac {r}{2}}{b}\left (x- \dfrac {r}{2}\right )$ .

.
αλλά εσύ λαμβάνοντας r=2

είναι

καταλήγεις στην
.

KARKAR έγραψε: Σάβ Αύγ 29, 2026 4:07 pm Επίσης : $(x-1 ,y)\cdot(a-1 ,b)=0$ ,

.
που είναι ακριβώς η ίδια αλλά μαγειρεμένη τεχνηέντως για να φαίνεται εύκολη.

Φυσικά, οι πράξεις σου, ως ειδική περίπτωση, γίνονται πλέον απλούστερες. Αυτό, όμως, δεν τις καθιστά και κομψές, όσο κι αν επιχειρείς να μας πείσεις περί του αντιθέτου. Παραμένουν ανιαρές πράξεις ρουτίνας. Απλά, η γενική περίπτωση έχει πλέον κρυφτεί κάτω από το χαλί.

Η επίκληση ενός ρητορικού De gustibus et coloribus non est disputandum (όπως ουσιαστικά λες στο ποστ #6) δεν αλλάζει την πραγματικότητα. Η μαθηματική κομψότητα δεν είναι ζήτημα διακήρυξης αλλά κρίνεται από τη δομή, την απλότητα και την οικονομία της λύσης.

Δυστυχώς δεν έπεισες, αλλά μην μας περνάς για αφελείς.

Η ομορφιά των πράξεων

Η ομορφιά των πράξεων

Re: Η ομορφιά των πράξεων

Re: Η ομορφιά των πράξεων

Re: Η ομορφιά των πράξεων

Re: Η ομορφιά των πράξεων

Re: Η ομορφιά των πράξεων

Re: Η ομορφιά των πράξεων

Μέλη σε σύνδεση