Εμβαδόν εγγεγραμμένου

KARKAR · #1

: Η δυσανεξία στις πράξεις.png (22.85 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές

Οι κύκλοι (O,R)

και

, έχουν κοινό νότιο πόλο το σημείο

. Από τον βόρειο πόλο

του

, φέρουμε τις εφαπτόμενες προς τον (K)

, οι οποίες ξανατέμνουν τον (O)

στα σημεία P , T

.

Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου NPT

. Ποια σχέση των R,r

, δίνει το μέγιστο του (NPT)

;

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 19, 2026 7:19 am Η δυσανεξία στις πράξεις.pngΟι κύκλοι και , έχουν κοινό νότιο πόλο το σημείο . Από τον βόρειο πόλο

του , φέρουμε τις εφαπτόμενες προς τον , οι οποίες ξανατέμνουν τον στα σημεία .

Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου . Ποια σχέση των , δίνει το μέγιστο του ;

: MaxArea.png (24.33 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές

,

KN=2R-r

,

\sin t=\frac{r}{2R-r}

NT=2R\cos t

,

MT=NT\sin t=2R\sin t\cos t

(NM)=NT\cos t=2R{{\cos }^{2}}t

\begin{array}{l} (NPT) = \frac{1}{2}PT \cdot NM = \frac{1}{2}2MT \cdot NM = MT \cdot NM = 2R\sin t\cos t \cdot 2R{\cos ^2}t = 4{R^2}\sin t{\cos ^3}t = \\ \\ = 4{R^2}\sin t(1 - {\sin ^2}t)\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} = 4{R^2}\sin t{(1 - {\sin ^2}t)^{3/2}} = \\ \\ = 4{R^2}\frac{r}{{2R - r}}{\left[ {1 - {{\left( {\frac{r}{{2R - r}}} \right)}^2}} \right]^{\frac{3}{2}}} = .... = \frac{{32{R^3}r(R - r)\sqrt {R(R - r)} }}{{{{(2R - r)}^4}}} \end{array}

r=kR\Rightarrow (NPT)=\frac{32{{R}^{3}}kR(R-kR)\sqrt{R(R-kR)}}{{{(2R-kR)}^{4}}}=\frac{32{{R}^{5}}k(1-k)\sqrt{1-k}}{{{R}^{4}}{{(2-k)}^{4}}}=\frac{32Rk(1-k)\sqrt{1-k}}{{{(2-k)}^{4}}}

\begin{array}{l} E(x) = \frac{{32Rx{{(1 - x)}^{3/2}}}}{{{{(2 - x)}^4}}},\,\,\,\,\,0 < x < 1\\ E'(x) = \frac{{16R\sqrt {1 - x} (2 - 3x)}}{{{{(2 - x)}^5}}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0 < x < 1 \end{array}

{E}'(x)\ge 0\Leftrightarrow 2-3x\ge 0\Leftrightarrow x\le \frac{2}{3}

k=\frac{2}{3}\Rightarrow r=\frac{2R}{3}

Εμβαδόν εγγεγραμμένου

Εμβαδόν εγγεγραμμένου

Re: Εμβαδόν εγγεγραμμένου

Μέλη σε σύνδεση