Μια Αναλλοίωτη Ψηφιακή Σταθερά (Constant = 11) και η Γενίκευσή της σε Κάθε Βάση

[pg314]

Γεια σας,

Θα ήθελα να μοιραστώ μαζί σας μια ψηφιακή παρατήρηση/σταθερά που εντόπισα μελετώντας τις σχέσεις μεταξύ των ψηφίων στο δεκαδικό σύστημα, και να συζητήσουμε αν παρουσιάζει κάποιο ευρύτερο ενδιαφέρον στη Θεωρία Αριθμών.

### 1. Η Διαδικασία στο Δεκαδικό Σύστημα
Αν πάρουμε διαδοχικά ζεύγη μονοψήφιων περιττών αριθμών και τα ενώσουμε (ψηφιακή παράθεση / concatenation), δημιουργούμε τους αριθμούς: 13, 35, 57, 79.
Αν κάνουμε το ίδιο για τα διαδοχικά ζεύγη των άρτιων αριθμών, δημιουργούμε τους: 24, 46, 68, 89.

Αν ευθυγραμμίσουμε αυτούς τους αριθμούς ανά «γενιά» και τους αφαιρέσουμε, η αλγεβρική απόσταση μεταξύ τους παραμένει απόλυτα σταθερή και αναλλοίωτη:
* 24 - 13 = 11
* 46 - 35 = 11
* 68 - 57 = 11

Ακόμα και αν αντιστρέψουμε τη σειρά των ψηφίων (π.χ. 62 - 51, 73 - 62), το αποτέλεσμα καταλήγει μόνιμα στο 11.

### 2. Γενίκευση σε Κάθε Αριθμητική Βάση
Επεκτείνοντας αυτόν τον αλγόριθμο, διαπίστωσα ότι ισχύει ένας καθολικός νόμος: Σε οποιαδήποτε αριθμητική βάση b, αν εφαρμόσουμε την ίδια διαδικασία, η αναλλοίωτη διαφορά θα γράφεται ΠΑΝΤΑ ως "11" σε αυτή τη συγκεκριμένη βάση!

Μαθηματική Απόδειξη:
Σε μια τυχαία βάση b, η αξία της ψηφιακής παράθεσης δύο ψηφίων u και v ορίζεται ως:
Αξία = b * u + v

Επειδή κάθε άρτιο ψηφίο είναι ακριβώς κατά 1 μονάδα μεγαλύτερο από το αντίστοιχο περιττό ψηφίο, ορίζουμε τις σχέσεις:
* a_k = p_k + 1
* a_k+1 = p_k+1 + 1

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις αυτές στην εξίσωση της αφαίρεσης για τη γενιά k, έχουμε:
Διαφορά = [b * (p_k + 1) + (p_k+1 + 1)] - (b * p_k + p_k+1)
Διαφορά = b * p_k + b + p_k+1 + 1 - b * p_k - p_k+1

Οι μεταβλητές (b * p_k) και (p_k+1) εξουδετερώνονται πλήρως και απομένει:
Διαφορά = b + 1

Επειδή η τιμή b + 1 αντιπροσωπεύει ακριβώς μία ομάδα της βάσης (b) και μία μονάδα (1), η αναπαράστασή της στη βάση αυτή είναι πάντα η συμβολοσειρά 11.

* Στο Οκταδικό Σύστημα (Base-8): Η σταθερά είναι 8 + 1 = 9, που γράφεται ως 11 στη βάση 8.
* Στο Δωδεκαδικό Σύστημα (Base-12): Η σταθερά είναι 12 + 1 = 13, που γράφεται ως 11 στη βάση 12.

### Ερώτημα:
Αν και η αλγεβρική εξήγηση (b + 1) είναι προφανής μετά την απόδειξη, η συγκεκριμένη αλγοριθμική διαδρομή με τη χρήση διαδοχικών άρτιων και περιττών δημιουργεί μια όμορφη συμμετρία όπου όλες οι μεταβλητές εξαφανίζονται.

Έχει συναντήσει κανείς παρόμοια διατύπωση ψηφιακών σταθερών (invariants) στη βιβλιογραφία ή αποτελεί απλώς μια κομψή ιδιότητα των θεσιακών συστημάτων αρίθμησης;

Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων για τον χρόνο σας και τα σχόλιά σας!