Πτολεμαίος

[chris_gatos]

Πάρα πολλοί συνάδελφοι, πριν το διαγωνισμό του ΑΣΕΠ, μου υποδείκνυαν, ως πιθανό για άσκηση το Θ.Πτολεμαίου...
Δίνω μια άσκηση για άμεση εφαρμογή του...
Έστω κανονικό επτάγωνο ΑΒΓΔΕΖΗ. Αν με α συμβολίσουμε τις πλευρές του, με β, γ τις διαγωνιές του (β<γ), να
αποδείξετε ότι: .

Υπόδειξη: Προσπαθήστε στα τετράπλευρα ΑΒΓΔ, ΗΒΓΔ.

[Γιώργος Ρίζος]

Μία γρήγορη απάντηση με βάση την υπόδειξη του Χρήστου

(Για όποιον θέλει περισσότερες πληροφορίες για το Θ. του Πτολεμαίου, ας κάνει Αναζήτηση, στην κορυφή της σελίδας. Σε πολλά θέματα έχει αναλυθεί).

Ptolrmaiou.png (42.41 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές

Με βάση την υπόδειξη του Χρήστου:

Στο ΑΒΓΔ, από Θ. Πτολεμαίου: ΑΒ•ΓΔ + ΒΓ•ΑΔ = ΒΔ•ΑΓ άρα α² + αγ = β² (1)
Στο ΗΒΓΔ, από Θ. Πτολεμαίου: ΗΒ•ΓΔ + ΒΓ•ΗΔ = ΒΔ•ΗΓ άρα αβ + αγ = βγ (2)
Στο ΑΔΕΗ, από Θ. Πτολεμαίου: ΗΑ•ΔΕ + ΑΔ•ΗΕ = ΗΔ•ΑΕ άρα α² + βγ = γ² (3)

Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1), (2) :
αβ + αγ + α² + αγ = β² + βγ ή αβ + 2αγ = β² + βγ - α² .
Από την (3) είναι: α² = γ² - βγ, οπότε: αβ + 2αγ = β² +2βγ - γ².

που είναι η ζητούμενη προς απόδειξη σχέση.

Γιώργος Ρίζος

[chris_gatos]

Γιώργο,δεν εξηγείται διαφορετικά,τα έχεις έτοιμα τα σχήματα!!
Άψογος...