Γεωμετρική πρόοδος

#1

Έστω η γεωμετρική πρόοδος (αν) με:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} a_1 = \cos ^3 x \\ a_4 = \sin ^3 x \\ \frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2} \\ \end{array} }$

1) Να βρείτε το λόγο της προόδου

2) Αν ισχύει

$\displaystyle{ S_{4n} = S_{2n} (1 + 3^n ) }$

τότε να βρείτε το χ.

3) Για το παραπάνω χ να βρείτε το n αν είναι γνωστό πως:

$\displaystyle{ a_n = \frac{{27}}{8} }$

#2

chris_gatos έγραψε:Έστω η γεωμετρική πρόοδος (αν) με:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} a_1 = \cos ^3 x \\ a_4 = \sin ^3 x \\ \frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2} \\ \end{array} }$

1) Να βρείτε το λόγο της προόδου

2) Αν ισχύει

$\displaystyle{ S_{4n} = S_{2n} (1 + 3^n ) }$

τότε να βρείτε το χ.

3) Για το παραπάνω χ να βρείτε το n αν είναι γνωστό πως:

$\displaystyle{ a_n = \frac{{27}}{8} }$

Για την ωραία άσκηση του Χρήστου:

1) $\displaystyle \alpha _4 = \alpha _1 \cdot \lambda ^3 \;\; \Rightarrow \;\lambda ^3 = \varepsilon \phi ^3 x\; \Rightarrow \;\lambda = \varepsilon \phi x$ , αφού $\displaystyle \frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}\;\; \Rightarrow \;\varepsilon \phi x > 0$

2) $\displaystyle S_{4\nu } = S_{2\nu } \left( {1 + 3^\nu } \right)\;\; \Rightarrow \;\;\sigma \upsilon \nu ^3 x \cdot \frac{{\varepsilon \phi ^{4\nu } x - 1}}{{\varepsilon \phi x - 1}} = \sigma \upsilon \nu ^3 x \cdot \frac{{\varepsilon \phi ^{2\nu } x - 1}}{{\varepsilon \phi x - 1}}\left( {1 + 3^\nu } \right)$

$\displaystyle \Rightarrow \;\frac{{\varepsilon \phi ^{4\nu } x - 1}}{{\varepsilon \phi ^{2\nu } x - 1}} = \left( {1 + 3^\nu } \right)$ , με τον περιορισμό $\displaystyle \varepsilon \phi ^{2\nu } \ne 1$

$\displaystyle \Rightarrow \;\varepsilon \phi ^{2\nu } x + 1 = 1 + 3^\nu \; \Rightarrow \;\varepsilon \phi ^2 x = 3\; \Rightarrow \;\varepsilon \phi x = \sqrt 3 \; \Rightarrow \;x = \frac{\pi }{3}$

3) $\displaystyle \alpha _\nu = \frac{{27}}{8}\;\; \Rightarrow \;\;\sigma \upsilon \nu ^3 \frac{\pi }{3} \cdot \varepsilon \phi ^\nu \frac{\pi }{3} = \frac{{27}}{8}$
$\displaystyle \Rightarrow \;\;\frac{1}{8} \cdot \left( {\sqrt 3 } \right)^\nu = \frac{{27}}{8}\; \Rightarrow \;3^{\frac{\nu }{2}} = 3^3 \; \Rightarrow \;\nu = 6$

Γιώργος Ρίζος

Γεωμετρική πρόοδος

Γεωμετρική πρόοδος

Re: Γεωμετρική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση