Μέσος όρος

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Θα ήθελα την άποψή σας.

Αντιγράφω από σχολικό βιβλίο Ε΄ Δημοτικού σελίδα 130.

"Αν ο αριθμός των αυτοκινήτων το 1950 σ' ολόκληρο τον κόσμο αυξήθηκε από 53 εκατ. σε 450 εκατ. περίπου το 2003, πόση ήταν:
- η συνολική αύξηση;
- η μέση αύξηση κάθε δεκαετία;
Λύνεται το πρόβλημα; Αν ναι προτείνω λύση. Αν όχι, το διορθώνω και προτείνω λύση."

Ποια είναι η γνώμη σας;

[Μάκης Χατζόπουλος]

Λευτέρη ενδιαφέρων, γιατί πολύ από εμάς δεν γνωρίζουν τι γράφουν τα βιβλία του δημοτικού...

Λοιπόν πρέπει να μαντέψεις τι θέλει να πει η άσκηση και να προβείς σε τέχνασμα για να την λύσεις!!

α. Τι σημαίνει "συνολική αύξηση"; Μήπως εννοεί απλά "αύξηση"; Και αν ναι, αφού περιμένεις απαντήσεις και όχι ερωτήσεις, τότε νομίζω ότι είναι λάθος έκφρασης κατά τα άλλα είναι ένα απλό ερώτημα για το Δημοτικό, σωστά έως εδώ;

β. Γνωρίζουν οι μαθητές τι σημαίνει μέσος όρος; Αν δεν γνωρίζουν τότε κλάφτα Χαράλαμπε!! Τώρα αν το γνωρίζουν έχουμε να πούμε τα εξής:

Αν ζητούσε τη «μέση αύξηση» για κάθε χρόνο, τότε νομίζω ότι η λύση είναι αυτή η κλασική με το πηλίκο δηλ.

(450-53):(2003-1950)=397:53 και βγάζει αποτέλεσμα 7,49 περίπου, δηλ. ερμηνεύεται ότι έχουμε αύξηση 7,49 εκατ. αυτοκινήτων για κάθε χρόνο…

Όμως το πρόβλημα ζητάει για κάθε δεκαετία, όμως από το 1950 έως το 2003 δεν έχουμε ακέραιο πλήθος δεκαετιών, δέκα και κάτι, σε αυτή την περίπτωση, είναι λάθος και όχι ακριβές να ζητάνε από τα παιδιά Δημοτικού κάτι τέτοιο (δηλ. να περάσουν από την λύση που δώθηκε για κάθε χρόνο και να το πολ/σουν με το δέκα) {---> φαντάζομαι ότι εδώ είναι ο προβληματισμός σου, σωστά;;}

Προτείνω τα εξής για να είναι η άσκηση ορθή κατά την γνώμη μου να έχει τις εξής εκφωνήσεις:

Εκφώνηση 1η
"Αν ο αριθμός των αυτοκινήτων το 1950 σ' ολόκληρο τον κόσμο αυξήθηκε από 53 εκατ. σε 450 εκατ. περίπου το 2003, πόση ήταν:
- η αύξηση;
- η μέση αύξηση για κάθε έτος;

Εκφώνηση 2η
"Αν ο αριθμός των αυτοκινήτων το 1950 σ' ολόκληρο τον κόσμο αυξήθηκε από 53 εκατ. σε 450 εκατ. περίπου το 2000, πόση ήταν:
- η αύξηση;
- η μέση αύξηση για κάθε δεκαετία;

Εκφώνηση 3η
"Αν ο αριθμός των αυτοκινήτων το 1950 σ' ολόκληρο τον κόσμο αυξήθηκε από 53 εκατ. σε 450 εκατ. περίπου το 2005, πόση ήταν:
- η αύξηση;
- η μέση αύξηση κάθε δεκαετίας;

Περιμένω τις απόψεις σου Λευτέρη για να το συζητήσουμε...

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Λευτέρη ενδιαφέρων, γιατί πολύ από εμάς δεν γνωρίζουν τι γράφουν τα βιβλία του δημοτικού...

Λοιπόν πρέπει να μαντέψεις τι θέλει να πει η άσκηση και να προβείς σε τέχνασμα για να την λύσεις!!

Αυτό ακριβώς το πράγμα συμβαίνει σε άπειρες περιπτώσεις!!! Μιλάμε για απίστευτα πράγματα. Πολλές φορές αναρωτιέμαι γιατί δεν βάζουν έναν μαθηματικό να τα κοιτάξει, πριν προχωρήσουν στην οποιαδήποτε έκδοση.

α. Τι σημαίνει "συνολική αύξηση"; Μήπως εννοεί απλά "αύξηση"; Και αν ναι, αφού περιμένεις απαντήσεις και όχι ερωτήσεις, τότε νομίζω ότι είναι λάθος έκφρασης κατά τα άλλα είναι ένα απλό ερώτημα για το Δημοτικό, σωστά έως εδώ;!!

Σωστά!!!

β. Γνωρίζουν οι μαθητές τι σημαίνει μέσος όρος; Αν δεν γνωρίζουν τότε κλάφτα Χαράλαμπε!! Τώρα αν το γνωρίζουν έχουμε να πούμε τα εξής:

Αν ζητούσε τη «μέση αύξηση» για κάθε χρόνο, τότε νομίζω ότι η λύση είναι αυτή η κλασική με το πηλίκο δηλ.

(450-53):(2003-1950)=397:53 και βγάζει αποτέλεσμα 7,49 περίπου, δηλ. ερμηνεύεται ότι έχουμε αύξηση 7,49 εκατ. αυτοκινήτων για κάθε χρόνο…

Τα παιδιά γνωρίζουν την έννοια του μέσου όρου και η λύση που προτείνεις είναι ακριβώς η λύση που είχα στο μυαλό μου. Νομίζω ότι σαν μαθηματικά είναι απόλυτα σωστή. Θα ήθελα και άλλες απόψεις βέβαια

Όμως το πρόβλημα ζητάει για κάθε δεκαετία, όμως από το 1950 έως το 2003 δεν έχουμε ακέραιο πλήθος δεκαετιών, δέκα και κάτι, σε αυτή την περίπτωση, είναι λάθος και όχι ακριβές να ζητάνε από τα παιδιά Δημοτικού κάτι τέτοιο (δηλ. να περάσουν από την λύση που δώθηκε για κάθε χρόνο και να το πολ/σουν με το δέκα) {---> φαντάζομαι ότι εδώ είναι ο προβληματισμός σου, σωστά;;}

Προτείνω τα εξής για να είναι η άσκηση ορθή κατά την γνώμη μου να έχει τις εξής εκφωνήσεις:

Εκφώνηση 1η
"Αν ο αριθμός των αυτοκινήτων το 1950 σ' ολόκληρο τον κόσμο αυξήθηκε από 53 εκατ. σε 450 εκατ. περίπου το 2003, πόση ήταν:
- η αύξηση;
- η μέση αύξηση για κάθε έτος;

Εκφώνηση 2η
"Αν ο αριθμός των αυτοκινήτων το 1950 σ' ολόκληρο τον κόσμο αυξήθηκε από 53 εκατ. σε 450 εκατ. περίπου το 2000, πόση ήταν:
- η αύξηση;
- η μέση αύξηση για κάθε δεκαετία;

Εκφώνηση 3η
"Αν ο αριθμός των αυτοκινήτων το 1950 σ' ολόκληρο τον κόσμο αυξήθηκε από 53 εκατ. σε 450 εκατ. περίπου το 2005, πόση ήταν:
- η αύξηση;
- η μέση αύξηση κάθε δεκαετίας;

Περιμένω τις απόψεις σου Λευτέρη για να το συζητήσουμε...

Σε αυτά που αναφέρεις εδώ δεν μπορώ παρά να συμφωνήσω, μόνο αν αποφανθούμε ότι η λύση που έδωσες παραπάνω είναι λανθασμένη. Γιατί αν δεν είναι, γιατί να προτείνουμε κάτι;

Η άποψή μου από την πρώτη στιγμή που τη διάβασα, είναι ότι η λύση με την εύρεση αρχικά του ετήσιου μ.ο. είναι εντάξει, άρα η άσκηση λύνεται.

Ειλικρινά θα ήθελα και άλλες απόψεις από τη μαθηματική μας παρέα.

Ευχαριστώ.

[chris_gatos]

Θα συμφωνήσω με τις προτάσεις του Μάκη.

Επειδή ο συγγραφέας ρωτάει αν έχει λύση το πρόβλημα και ζητάει πρόταση ορθότητας για την άσκηση, προφανώς και δεν

λύνεται με τα υπάρχοντα δεδομένα.

Το δικό μου ερώτημα είναι γιατί τόσο δυσνόητα πράγματα στο δημοτικό (Σημείωση:Δεν ξέρω γρί απο την ύλη του Δημοτικού και τις απαιτήσεις του Υπουργείου),

Και φυσικά με τη λέξη δυσνόητα δεν εννοώ δύσκολα μα ακαταλαβίστικα σε σημείο που τα παιδάκια θα εγκαταλείψουν το τρένο των μαθηματικών απο πολύ μικρή ηλικία...

Μα καλά, χάθηκαν λίγο καλύτερες εκφωνήσεις;

Τι να πεί κανείς;

[mikekaskada]

Θέλοντας να συμβάλλω στα προηγούμενα, αντιγράφω τα παρακάτω, από το βιβλίο του δασκάλου , στο κεφάλαιο σχετικά με την φιλοσοφία της διδασκαλίας των μαθηματικών σύμφωνα με το νέο εκπαιδευτικό υλικό (σελ. 9-10) , http://www.pi-schools.gr/books/dimotiko/math_e/dask.pdf :

"... Η νέα προσέγγιση της διδασκαλίας των μαθηματικών αλλάζει καθώς μετατοπίζονται οι στόχοι της μαθηματικής εκπαίδευσης κυρίως από την εκμάθηση των αλγορίθμων των 4 πράξεων και των τύπων χωρίς κατανόηση, στην εκμάθηση λύσης προβλημάτων (με μία ή πολλές λύσεις). Γι' αυτό η γνωστική περιοχή επίλυσης προβλήματος είναι πρωταρχική γνωστική περιοχή και απαιτεί το 1 /6 περίπου των συνολικών διδακτικών ωρών στο αναλυτικό πρόγραμμα των μαθηματικών κάθε τάξης.
Η αλλαγή στην επίλυση προβλημάτων δε χαρακτηρίζεται μόνο στα είδη των προβλημάτων και στο χρόνο που αφιερώνεται & αυτά. Τα προβλήματα είναι μέσα από την καθημερινή ζωή και έχουν νόημα για τα παιδιά. Τα παιδιά καταλαβαίνουν ότι η χρησιμότητα των μαθηματικών έγκειται στην επίλυση προβλημάτων. Οι μαθητές δε λύνουν προβλήματα με βάση λέξεις-«κλειδιά» ή χρησιμοποιώντας τύπους και κανόνες. Μαθαίνουν πώς να λύνουν προβλήματα συνηθισμένα ή πιο πρωτότυπα στηριζόμενα στη λογική τους και στην ικανότητα τους να σκέφτονται. Μαθαίνουν να αξιολογούν πληροφορίες που δίνονται με κείμενο ή εικόνα, να συνδυάζουν τις πληροφορίες προκειμένου να επιλέξουν τη στρατηγική για να λύσουν το πρόβλήμα (όχι απαραίτητα πράξη), να επαληθεύσουν τη λύση που βρήκαν χρησιμοποιώντας μια άλλη στρατηγική. Μαθαίνουν να διορθώνουν προβλήματα, να συμπληρώνουν προβλήματα, να κρίνουν αν τα προβλήματα που έχουν μπροστά τους λύνονται ή όχι, αν έχουν μία ή πολλές λύσεις, να φτιάξουν προβλήματα με προϋποθέσεις."

Επίσης στο βιβλίο του μαθητή http://www.pi-schools.gr/books/dimotiko ... 22-152.pdf (σελ. 130), στην αρχή της σελίδας, κάνοντας την ανακεφαλαίωση κάποιων ενοτήτων γράφει (απευθυνόμενο στον μαθητή):
"Στα κεφάλαια αυτά έμαθα:
1) ....
2) Να αξιολογώ και να διορθώνω τις πληροφορίες ενός προβλήματος ......"
και γράφει και το πρόβλημα που ανέφερε ο Λευτέρης Πρωτοπαπάς.

Πριν καταθέσω την άποψη μου στον προβληματισμό του Χρήστου Κυριαζή:

Το δικό μου ερώτημα είναι γιατί τόσο δυσνόητα πράγματα στο δημοτικό .........
Και φυσικά με τη λέξη δυσνόητα δεν εννοώ δύσκολα μα ακαταλαβίστικα σε σημείο που τα παιδάκια θα εγκαταλείψουν το τρένο των μαθηματικών απο πολύ μικρή ηλικία...

Μα καλά, χάθηκαν λίγο καλύτερες εκφωνήσεις;

αλλά και σχετικά με το:

Αυτό ακριβώς το πράγμα συμβαίνει σε άπειρες περιπτώσεις!!! Μιλάμε για απίστευτα πράγματα.

πρέπει να αναφέρω μερικά πράγματα για να γίνουν κατανοητά (ελπίζω) αυτά που θα πώ [είναι μέρος μιας εργασίας που είχα κάνει και τα αντιγράφω και τα επικολλώ για να μην τα ξαναγράφω, γι' αυτό και έχουν αυτό το ύφος, αλλά όπου χρειαστεί θα προσπαθήσω να γίνω περισσότερο κατανοητός βάζοντας με ειδικό χρώμα τις λέξεις και κόβω τις αναφορές στις έρευνες για να μην είναι πολύ κουραστικό και σημειώνω ότι θέλει λίγο υπομονή για να το διαβάσετε, αν κάτι δεν το καταλαβαίνεται (ορολογία κλπ) προχωρήστε παρακάτω και ίσως μέσα από τα παραδείγματα γίνω κατανοητός].

Α) Παρ’ όλο που ένας από τους σκοπούς της επίλυσης προβλήματος είναι η ανάπτυξη κριτικής σκέψης, διάφορες έρευνες (της Διδακτικής των Μαθηματικών) που έχουν γίνει σε διαφορετικές χώρες (Βέλγιο, Ιαπωνία , Ηνωμένο Βασίλειο κλπ) , έδειξαν ότι οι μαθητές δεν δίνουν σημασία σε ρεαλιστικούς παράγοντες που σχετίζονται με το πρόβλημα, όταν απαντούν σε λεκτικά προβλήματα και μερικές φορές δίνουν παράλογες απαντήσεις. Για παράδειγμα όταν οι μαθητές κλήθηκαν να λύσουν ένα πρόβλημα όπως το εξής : «Αν 100 μαθητές πρέπει να μεταφερθούν με λεωφορεία, που το καθένα χωράει 30, πόσα λεωφορεία θα χρειαστούνε;» πολλοί μαθητές απάντησαν ότι θα χρειαστούν 3,33 λεωφορεία και όχι 4, αγνοώντας ολότελα το τι μπορεί να σημαίνουν τα δεκαδικά ψηφία της απάντησής τους σε αυτό το πρόβλημα. Επίσης πολλές φορές οι μαθητές έδιναν απαντήσεις σε προβλήματα που ρωτούσαν κάτι το οποίο όμως δεν μπορούσε να υπολογιστεί από τα δεδομένα και φαινόταν παράλογο να δοθεί απάντηση π.χ.
« Υπάρχουν 125 πρόβατα σε ένα μαντρί και 5 σκυλιά. Πόσο χρονών είναι ο βοσκός;» Πολλά παιδιά απαντούσαν ότι είναι 25 κάνοντας την πράξη 125:5.
.... διάφορες έρευνες δείχνουν ότι:
• Οι μαθητές συχνά λύνουν προβλήματα χωρίς να τα καταλαβαίνουν
• Οι μαθητές πρόθυμα «λύνουν» άλυτα , ακόμα και παράλογα προβλήματα, αν αυτά παρουσιάζονται μέσα στο σύνηθες σχολικό πλαίσιο
• Οι μαθητές σχεδόν ποτέ δεν αναρωτιούνται αν ένα πρόβλημα που τους δόθηκε λύνεται ή όχι
• Οι μαθητές συχνά χρησιμοποιούν επιφανειακές λέξεις κλειδιά μεθόδους (ή στρατηγικές άμεσης μετάφρασης ) αντί να σκέφτονται βαθιά για την εμπλεκόμενη πραγματική κατάσταση , όταν λύνουν στερεότυπα προβλήματα
• Παραλλαγές στην δομή παρουσίασης (αλλαγές στις λέξεις) επηρεάζουν δραματικά την δυσκολία του προβλήματος
Σε αναζήτηση απάντησης γιατί συμβαίνει κάτι τέτοιο, διάφοροι ερευνητές υποστήριξαν μεταξύ των άλλων ότι δεν είναι ζήτημα γνωστικής αδυναμίας των μαθητών, αλλά ότι αυτοί συμπεριφέρονται σύμφωνα με τους όρους του διδακτικού συμβολαίου ή των κοινωνικομαθηματικών νορμών της τάξης (οι λόγοι για τους οποίους οδηγήθηκαν σ' αυτό το συμπέρασμα ήταν α) η συμπεριφορά των μαθητών ήταν παραπλήσια σε διαφορετικές χώρες β) οι μαθητές από γ΄ Δημοτικού έως και β' Γυμνασίου απαντούσαν στο "παράλογο πρόβλημα" με τον βοσκό και τα πρόβατα όπως περιγράφηκε παραπάνω, ενώ οι μικροί μαθητές της α και β Δημοτικού (με κατάλληλα διασκευασμενο πρόβλημα) απαντούσαν ότι δεν λύνεται το πρόβλημα, άρα κάτι "στραβό υπήρχε στο βασίλειο της Δανιμαρκίας" μετά τα πρώτα 2 χρόνια φοίτησης στο σχολείο (σε δοκιμή που έκανα σε γνωστό μου μαθητή όταν ήταν α γυμνασίου και που είχε άριστα στα Μαθηματικά, μου έδωσε αριθμητική απάντηση και όταν ρώτησα: "γιατί απάντησες, καταλαβαίνεις ότι το πρόβλημα δεν μπορούσε να λυθεί;" κλπ μου έδωσε απαντήσεις που παρέμπεμπαν σε όλα αυτά περί διδακτικών συμβολαίων , πεποιθήσεων κλπ και που περιγράφονται παρακάτω )) . Με τον όρο διδακτικό συμβόλαιο εννοούμαι το σύστημα των υποκρυπτόμενων νορμών, κανόνων και προσδοκιών που αναπτύσσονται αμοιβαία ανάμεσα στους μαθητές και τον καθηγητή (Ας πούμε ότι είναι απλά δηλωμένοι και αδήλωτοι κανόνες συμπεριφοράς, αναφέρονται και παρακάτω και ίσως διευκρινίζονται κάπως οι δύο όροι, που είναι περίπου παραπλήσιοι , αλλά προέρχονται από διαφορετικές σχολές έρευνας της Διδακτικής των Μαθηματικών, Γαλλική και Αμερικάνικη) .
Το διδακτικό συμβόλαιο που οι μαθητές υιοθετούν όταν λύνουν λεκτικά μαθηματικά προβλήματα, περιλαμβάνει τα ακόλουθα:
• Κάθε πρόβλημα που παρουσιάζει ο καθηγητής ή το σχολικό εγχειρίδιο έχει νόημα
• Μην αναρωτιέσαι για την ορθότητα ή την πληρότητα των προβλημάτων
• Υπέθεσε ότι υπάρχει μόνον μία σωστή λύση σε κάθε πρόβλημα
• Δώσε απάντηση σε κάθε πρόβλημα που σου παρουσιάζεται για λύση
• Χρησιμοποίησε όλα τα δεδομένα για να βρεις την λύση
• Αν η μαθηματική πράξη δεν αφήνει υπόλοιπο είσαι σε σωστό δρόμο
• Αν το πρόβλημα φαίνεται απροσδιόριστο, αδύνατο ή διφορούμενο κάνε μια προφανή ερμηνεία από τις πληροφορίες του προβλήματος και από την γνώση σου για τις μαθηματικές πράξεις
• Αν δεν καταλαβαίνεις το πρόβλημα, ψάξε για λέξεις κλειδιά ή ψάξε στα προηγούμενα λυμένα προβλήματα, για να μπορέσεις να προσδιορίσεις την μαθηματική πράξη
Οι διαδικασίες αξιολόγησης συνεισφέρουν σημαντικά στο διδακτικό συμβόλαιο, αφού μία από τις επιπτώσεις της αξιολόγησης είναι ότι καθορίζει το τι αξιολογείται και το τι αναμένεται, τι μετράει ως ικανότητα στα μαθηματικά και ποιές μορφές της μαθηματικής ικανότητας βαθμολογούνται. Οι τυπικές γραπτές αξιολογήσεις είναι κλειστές σε όρους χρόνου, πληροφορίας, δραστηριότητας, κοινωνικής αλληλεπίδρασης και σε όρους επικοινωνίας. Ο ..... υποστηρίζει ότι κάποιες φορές τα προβλήματα με τα οποία αξιολογούνται οι μαθητές έχουν ένα δήθεν ρεαλιστικό πλαίσιο, που όμως οι μαθητές πρέπει να μην το λάβουν υπόψη για να αξιολογηθούν σωστά.
Παράλληλα οι .... υποστηρίζουν ότι το διδακτικό συμβόλαιο το καθορίζουν «… οι παιδαγωγικές πρακτικές που αποδέχονται σιωπηρά ότι αυτό που έχει μεγαλύτερη αξία είναι η σωστή απάντηση και όχι ο συλλογισμός , έτσι οι μαθητές είναι ευτυχείς που φτάνουν σε αποτέλεσμα και ο καθηγητής είναι ευχαριστημένος γιατί μεταφράζει το αποτέλεσμα αυτό ως ένδειξη μάθησης και κατανόησης … όταν η λύση του μαθηματικού προβλήματος ρουτινιάζει σε στερεότυπα μοτίβα θα είναι πιο εύκολο, σε πολλές περιπτώσεις, στον μαθητή να λύσει το πρόβλημα παρά να κατανοήσει την λύση και γιατί ταιριάζει στο πρόβλημα…».
Οι ..... εισήγαγαν τον όρο «Σχήμα Λεκτικών Προβλημάτων» , για να αναφερθούν στο σύστημα των πεποιθήσεων που έχουν οι μαθητές και οι καθηγητές σχετικά με τα λεκτικά προβλήματα. «Τα πιστεύω ή οι πεποιθήσεις είναι οι υποκειμενικές γνώσεις, θεωρίες και αντιλήψεις ενός ατόμου. Περιέχουν αυξημένη γνωστική συνιστώσα, δύσκολα αλλάζουν και είναι υποκειμενικές, με την έννοια ότι το άτομο δεν μπορεί να πείσει με αποδεκτά κριτήρια για το αληθές μιας πεποίθησής του. Αν μπορεί να το πράξει, τότε δεν πρόκειται για πεποίθηση αλλά για γνώση». Οι μαθητές αναπτύσσουν τις πεποιθήσεις τους από τις αντιλήψεις και τις ερμηνείες των κοινωνικομαθηματικών νορμών που καθορίζουν σαφώς, μερικές φορές, αλλά κυρίως άδηλα, πώς να συμπεριφέρονται σε μία τάξη μαθηματικών, πώς να σκέπτονται, πώς να επικοινωνούν με τον καθηγητή κλπ.
Παραδείγματα πεποιθήσεων σε σχέση με την λύση των λεκτικών προβλημάτων είναι τα εξής :
• Κάθε λεκτικό πρόβλημα που παρουσιάζεται από τον δάσκαλο ή το σχολικό εγχειρίδιο είναι επιλύσιμο και δεν είναι παράλογο
• Υπάρχει μία, σωστή και ακριβής αριθμητική απάντηση
• Η σωστή απάντηση προκύπτει μέσα από μία ή περισσότερες πράξεις στα δεδομένα του προβλήματος
• Το πρόβλημα λύνεται με γνωστές μαθηματικές διαδικασίες
• Το κείμενο περιέχει όλες τις πληροφορίες που χρειάζονται και καμία εξωτερική πληροφορία δεν πρέπει να ληφθεί υπόψη
• Καταστρατήγηση της γνώσης (του μαθητή) για τον καθημερινό πραγματικό κόσμο ή διαισθήσεις για αυτόν πρέπει να αγνοούνται.
Άλλες μελέτες που εξέτασαν τις πεποιθήσεις των μαθητών σε σχέση με την επίλυση προβλήματος ή γενικότερα πεποιθήσεις για τα μαθηματικά, αφού οι τελευταίες επηρεάζουν τις προηγούμενες, δείχνουν ότι κάποιες από τις παραπάνω πεποιθήσεις δεν σχετίζονται μόνον με την επίλυση λεκτικών προβλημάτων, αλλά γενικότερα με την επίλυση προβλήματος . Έτσι τον προηγούμενο κατάλογο συμπληρώνουν πεποιθήσεις των μαθητών για την επίλυση προβλήματος και για τα μαθηματικά όπως οι παρακάτω:
• Αν ένα πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί μέσα σε λίγα λεπτά τότε είναι αδύνατο
• Η δυσκολία ενός προβλήματος είναι ανάλογη του μεγέθους του προβλήματος και της ποσότητας των αριθμών
• Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη της ακρίβειας και οι γρήγορες και σωστές απαντήσεις είναι αυτές που γίνονται αποδεκτές από τον καθηγητή
• Να κάνεις μαθηματικά σημαίνει να ακολουθείς τους κανόνες που δίνει ο καθηγητής και το να θυμάσαι και να εφαρμόζεις τους κανόνες σωστά σημαίνει ότι γνωρίζεις μαθηματικά.
• Τα μαθηματικά δεν έχουν σχέση με τον πραγματικό κόσμο.
Ένα περιβάλλον κατάλληλο για την αλλαγή των πεποιθήσεων των μαθητών σε σχέση με τα λεκτικά προβλήματα πρέπει να έχει τα εξής στοιχεία:
α) ριζικά διαφορετική κουλτούρα τάξης όπου τα λεκτικά προβλήματα να θεωρούνται ως προβλήματα μοντελοποίησης
β) αντικατάσταση των στερεότυπων τυπικών λεκτικών προβλημάτων με προβλήματα όχι συνηθισμένα (ρουτίνας) που θα έχουν ως επιδίωξη να προκαλέσουν σκέψη για τις περιπλοκές καταστάσεις που εμπλέκονται, παίρνοντας υπόψη ρεαλιστικούς παράγοντες και να προκαλούν διάκριση ανάμεσα στις ρεαλιστικές και στις στερεότυπες λύσεις.
γ) συνεργατική εργασία σε μικρές ομάδες και μετά συζήτηση με όλη την τάξη .
Η αλλαγή των πεποιθήσεων για τις σωστές απαντήσεις στα λεκτικά προβλήματα απαιτεί την επαναδιαπραγμάτευση του διδακτικού συμβολαίου και την καθιέρωση διαφορετικών κοινωνικών και κοινωνικομαθηματικών νορμών . Επίσης η παρουσίαση ενός μαθηματικού προβλήματος σε περισσότερο αυθεντικό πλαίσιο συμβάλει στην σωστή κατεύθυνση ή προβλήματα που θα ενθαρρύνουν ένα μεγαλύτερο εύρος ρεαλιστικών απαντήσεων , μαζί ίσως με μία ποικιλία προβλημάτων που μπορεί να περιλαμβάνουν περισσότερα δεδομένα ή να παραλείπουν δεδομένα, που να ζητούν εκτίμηση ή προσέγγιση, παρά ακριβή υπολογισμό, προβλήματα που δεν λύνονται σε ένα βήμα και τέλος οι μαθητές να προσπαθούν να διατυπώσουν προβλήματα μόνοι τους . Αυτές οι παρεμβάσεις θα πρέπει να διατρέχουν όλο το σχολικό πρόγραμμα και να μην είναι αποσπασματικές και μικρής διάρκειας.

Β) Ίσως κάποιος (όπως εγώ για παράδειγμα) αναρωτηθεί πόσο ή ποιά σχέση μπορεί να έχουν τα παραπάνω με μένα, που είμαι καθηγητής της Β/θμιας εκπ/σης , που μάλλον αφορούν τα προβλήματα του Δημοτικού (αν και μόνον τα περί κριτικής σκέψης νομίζω ότι είναι αρκετά). Επιτρέψτε μου να σας πω την δική μου θεώρηση των πραγμάτων: Οι περισσότεροι από μας έχουμε βρεθεί στην κατάσταση να φέρει κάποιος μαθητής μία άσκηση , που έχει κάποιο λάθος στην εκφώνηση (τις περισσότερες φορές λόγω απροσεξίας του μαθητή). Μετά το πρώτο παίδεμά μας αρχίζουμε να ανακαλύπτουμε αντιφατικά πράγματα και οδηγούμαστε στην βεβαιότητα ότι υπάρχει λάθος στην εκφώνηση. Αυτό είναι μία ικανότητα που την έχουμε αποκτήσει μέσω της ενασχόλησης μας με την λύση ασκήσεων, προβλημάτων κλπ και που θα θέλαμε να την αποκτήσουν και οι μαθητές μας π.χ. ένας μαθητής που λύνει μιαν άσκηση γεωμετρίας είναι νομίζω πολύ σημαντικό να μπορεί να αναγνωρίζει μόνος του εσφαλμένη αρχή που μπορεί να έχει κάνει (για παράδειγμα να θεωρεί ότι κάποιο τμήμα είναι διχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου, ενώ στην πραγματικότητα δεν είναι και την ώρα που θα φτάσει σε αντιφατικά συμπεράσματα, να μπορέσει να αναγνωρίσει το λάθος του και να αναθεωρήσει τις επιλογές του). Αυτό το είδος ικανότητας είναι πολύ βασική να αναπτυχθεί στους μαθητές μας.
Γ) Το πρόβλημα του σχολικού βιβλίου της Ε Δημοτικού, νομίζω ότι ανήκει σε μία κατηγορία προβλημάτων , που ονομάζονται "open ended" προβλήματα (συγνώμη αλλά προτιμώ να μην μεταφράζω κάποιους όρους) και που χαρακτηρίζονται ως ανοικτά είτε γιατί επιδέχονται πολλές προσσεγγίσεις για λύση, είτε γιατί χρειάζεται ο μαθητής να αποφασίσει για παραμέτρους του προβλήματος κλπ και οι στόχοι ενός τέτοιου προβλήματος είναι πολλοί και εξαρτώνται από τον ίδιο τον δάσκαλο ή καθηγητή μπορεί π.χ. να θέλει να δώσει στους μαθητές την ευκαιρία να ξεκαθαρίσουν κάποια ή κάποιες πτυχές μιας έννοιας ή να αναπτύξουν οι μαθητές ικανότητες όπως αυτή που αναφέρω στο Β) ή να αξιολογήσει την κατανόηση των μαθητών και πολλά άλλα. Οι Ιάπωνες χρησιμοποιούν πολύ συχνά τέτοιου είδους προβλήματα στην διδασκαλία των Μαθηματικών. Αν έχετε χρόνο κοιτάξτε εδώ: viewtopic.php?f=6&t=9727
Δ) Εικάζω πώς οι συγγραφείς του βιβλίου (δεν τους ξέρω και δεν έχω σχέση με το Δημοτικό) γνώριζαν κάποια πράγματα σαν αυτά που έγραψα και γι' αυτό έχουν την άσκηση στο βιβλίο. Το γεγονός ότι θα έπρεπε και οι δάσκαλοι να μάθουν γι' αυτά που τους οδήγησαν να την εντάξουν στο βιβλίο είναι αλλουνού παπά Ευαγγέλιο (Υπουργείο, Παιδαγωγικό, ευθύνη των συγγραφέων ή όλων μαζί κλπ).
Ε) Η δική μου κριτική ως προς το συγκεκριμένο πρόβλημα εστιάζεται αλλού: αφού μάλλον οι συγγραφείς γνώριζαν αυτά (ή σαν αυτά) που γράφω στο Α) μέρος , ακυρώνουν μεγάλο μέρος αυτού που υποτίθεται ότι παν να πετύχουν , βάζοντας πάνω από το πρόβλημα τον τίλτο: 2) Να αξιολογώ και να διορθώνω τις πληροφορίες ενός προβλήματος , θα έπρεπε να ήταν όλοι οι τίτλοι (στόχοι) όλοι μαζί και από κάτω όλα τα προβλήματα ανακατεμένα.


Φιλικά

Μιχάλης

[Kostas01]

Στην σελίδα 21 του τετράδιου εργασιών στα Μαθηματικά της Ε' δημοτικού (βλέπε http://pi-schools.sch.gr/dimotiko/math_e/erg_b.pdf σελ 21), υπάρχει η άσκηση (δ).

Μπορείτε να μου πείτε τι θέλει να πει η φράση: "Ο υπάλληλος πρότεινε να δώσουν τον ίδιο αριθμό βιβλίων σε όλα τα σχολεία , γι΄αυτό και ζήτησε το Μ.Ο. των παιδιών που φοιτούν στην Στ' τάξη στα σχολεία αυτά"

Εφόσον πρότεινε (ο υπάλληλος) να δώσουν τον ίδιο αριθμό βιβλίων, το μόνο που είχε να κάνει ήταν να διαιρέσει τα διαθέσιμα βιβλία με το πλήθος των σχολείων. Ο μέσος όρος πώς θα μπορούσε να βοηθήσει στην διανομή των βιβλίων;

[Kostas01]

Οι δάσκαλοι του δημοτικού (και φυσικά όποιος άλλος έχει να πει κάτι) θα μπορούσαν να κατατοπίσουν έναν γονέα στο ερώτημα του προηγούμενου μηνύματος;

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Αγαπητέ kostas01,

χωρίς να θέλω να δικαιολογήσω τα αδικαιολόγητα (γιατί αυτό που αναφέρεις, είναι λογικό και αυτονόητο), έχω να πω τα εξής:

1. Στην άσκηση δεν αναφέρει πουθενά ποιο είναι το πλήθος των διαθέσιμων βιβλίων, άρα η διαθέσιμη ποσότητα βιβλίων είναι καταρχήν άγνωστη.
Από τα ερωτήματα που ακολουθούν είναι φανερό, ότι οι συγγραφείς θέλουν να δείξουν ότι ο Μ.Ο στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν είναι σωστό κριτήριο.

2. Είναι προφανές ότι ο υπάλληλος αυτός είναι "στόκος".

3. Τέτοιοι παραλογισμοί είναι αρκετοί στα βιβλία του Δημοτικού. Αυτός δεν είναι ο χειρότερος...

[Kostas01]

Εχυαριστώ για την απάντηση.

Και γω αυτό υποθέτω, ότι η άσκηση θέλει να δείξει ότι ο ΜΟ δεν είναι το κατάλληλο κριτήριο.
Αλλά δυστυχώς δεν γίνεται αντιληπτό αυτό, διότι δεν γίνεται αντιληπτό πώς θα ήταν η διανομή των βιβλίων εάν μοιράζονταν σύμφωνα με τον ΜΟ, και πώς θα ήταν η διανομή εάν μοιράζονταν τα βιβλία χωρίς την χρήση του ΜΟ.

Αλήθεια, ποια θα ήταν η δίκαιη κατανομή π.χ. 100 βιβλίων σε αυτό το πρόβλημα;
Ανάλογα με τον πληθυσμό κάθε σχολείου; Δεν νομίζω.

Οπότε το ερώτημα της άσκησης (δ) μένει αναπάντητο.

[Πρωτοπαπάς Λευτέρης]

Νομίζω ότι κανένα ερώτημα δεν μένει αναπάντητο. Ο μ.ο είναι 12, άρα θα έπαιρναν από 12 βιβλία, πρόταση που δεν είναι λογική αφού υπάρχει σχολείο με 1 παιδί και στο σχολείο θα φτάσουν 12 βιβλία.

Τώρα για τα 100 βιβλία, δεν μπορούμε να έχουμε ακριβή απάντηση(προκύπτουν δεκαδικοί), αλλά ανάλογα ποσά ή ποσοστά θα έδιναν ακριβή λύση με άλλο αρχικό πλήθος βιβλίων.

[Kostas01]

Αν υποθέσουμε ότι έχουμε κατάλληλο αριθμό βιβλίων, τέτοιο που να μην αφήνει δεκαδικά ψηφία, θα πρότεινες ότι η κατανομή βιβλίων ανάλογα με το πλήθος των μαθητών είναι δίκαιη μέθοδος;

Δηλαδή στο σχολείο με τον έναν μαθητή π.χ. να στείλουν 1 ή 2 βιβλία και στο σχολείο με τους 28 μαθητές να στείλουν αντίστοιχα 28 ή56;

Δεν μου φαίνεται δίκαιο, ο μαθητής του ενός σχολείου να μπορεί να διαλέξει από 2 βιβλία, ενώ οι μαθητές του άλλου σχολείου να μπορούν να διαλέξουν από 56 βιβλία.

Για να μην ξεφύγουμε από το θέμα μας, που είναι η άσκηση του μέσου όρου, θα ήθελα να μάθω ποια είναι η "επίσημη" από το Υπουργείο ή τους συντάκτες του βιβλίου, απάντηση.