Μηδενική συνάρτηση

MoV · #1

Έστω πραγματικές συναρτήσεις $f,g:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x)g(x)=0,\forall x \in (a,b)$ και $\exists x_0 \in (a,b) : g(x_0) \neq 0$ .
Άν f,g

είναι αναλυτικές στο (a,b)

τότε να δειχθεί ότι $f(x)=0,\forall x \in (a,b)$ .
Αν f,g

είναι

φορές παραγωγίσιμες στο (a,b)

τότε δεν ισχύει γενικά ότι $f(x)=0,\forall x \in (a,b)$ .

#2

Καλημέρα.

Απολογούμαι για το σβήσιμο της ερώτησης και λέω πως ήταν ανεύ νοήματος...

Απλά για μια ακόμη ημέρα ήμουν ψόφιος και ανοίγοντας τον υπολογιστή το βράδυ,παρεξήγησα τα γραφόμενα του Mov.

Κάπως θα πρέπει να ρυθμίσω την...παρορμητικότητα μου.

Αυτό όμως δύσκολα θα συμβεί γιατί είμαι μαθημένος αλλιώς.

Ο Mov μίλησε για αναλυτικές πραγματικές συναρτήσεις και για συναρτήσεις που έχουν n παραγώγους.(Σε αυτό το σημείο κοιμόμουν όρθιος!)

Ο ορισμός της αναλυτικής πραγματικής συνάρτησης είναι ο εξής (απο το WolframMathWorld)

Mε λίγα λόγια οι αναλυτικές πραγματικές συναρτήσεις, όπως και οι μιγαδικές όταν είναι αναλυτικές στο xo έχουν

τη θεμελιώδη ιδιότητα να αναπτύσσονται σε σειρές Taylor γύρο απο το xo.

(Aφού υπάρχουν όλες οι τάξεις παραγώγων στο xo, αυτό είναι προφανές...)

Για την άσκηση τώρα, μπορούμε να αντιληφθούμε (εύκολα νομίζω) πως:

$\displaystyle{ f(x_o ) = f'(x_o ) = f''(x_o ) = ...f^{(n)} (x_o ) = 0,\forall n \in N }$

(Μπορούμε να το δούμε στην αρχή διαισθητικά και στη συνέχεια με επαγωγή να το δείξουμε).

Αρα αφού η f αναλυτική στο xo του (α,b):

$\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{f^{(n)} (x_0 )}}{{n!}}(x - x_o )^n = .... = 0} }$
Αρα το ίδιο συμβαίνει και για κάθε χ στο (α,b).

Για το δεύτερο σκέλος της ερώτησης, ας πάρουμε τη συνάρτηση:

$\displaystyle{ f(x) = |x|^3 x \in (-a,a) }$

με την πρϋπόθεση πως το 0 ανήκει στο (-α,α) και μια g να κάνει τη δουλειά που λέει στην εκφώνηση ο Mov..

Υπάρχουν παντού oi f ', f '' μα στο μηδέν δεν υπάρχει η f '''.

Aρα δε μπορεί εκ των πραγμάτων να ισχύει:

f(x)=0, για κάθε x στο διάστημα.

Πηγή (για να απαντήσω):

1) Το φετινό μου διάβασμα (το χάρηκα πάρα πολύ και θα συνεχιστεί)

2)R.Churchill-J.Brown ''Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρμογές'' Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης (Καταπληκτικό βιβλίο!)

Ελπίζω να σκέφτηκα και σωστά....

Καλημέρα ξανά!

#3

Χρήστο, μερικές παρατηρήσεις:

Η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{1+x}}$ είναι αναλυτική στο (-1,2)

. Το ανάπτυγμα Taylor της

στο

είναι $f(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$ . Αυτό το ανάπτυγμα συγκλίνει στο (-1,1)

αλλά όχι στο (-1,2)

.

Όταν λοιπόν λέμε πως μια συνάρτηση

είναι αναλυτική σε ένα σημείο x_0

του διαστήματος (a,b)

αυτό σημαίνει πως η

έχει ανάπτυγμα Taylor στο x_0

το οποίο συγκλίνει σε μια περιοχή του x_0

. Δεν μπορούμε όμως να συμπεράνουμε ότι το ανάπτυγμα συγκλίνει στο (a,b)

Κατ' επέκταση, το πιο κάτω σημείο είναι λάθος.

chris_gatos έγραψε: Αρα αφού η f αναλυτική στο xo του (α,b):

$\displaystyle{ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{f^{(n)} (x_0 )}}{{n!}}(x - x_o )^n = .... = 0} }$
Αρα το ίδιο συμβαίνει και για κάθε χ στο (α,b).

Αυτό που μπορείς να συμπεράνεις είναι ότι υπάρχει μια περιοχή του x_0

στην οποία η

είναι ταυτοτικά 0. Θέλει λοιπόν ακόμη κάποια δουλειά για να είναι η λύση πλήρης.

Για τα δεύτερο ερώτημα δεν έχω πειστεί. Νομίζω πως για την

που επέλεξες δεν υπάρχει

που να ικανοποιεί τις συνθήκες της άσκησης. Μπορεί όμως να κάνω και λάθος.

MoV · #4

Έστω $A= \{ x \in (a,b) : f^{(n)}(x)=0, \forall n \in N \}$ .
Το

όπως είπε και ο Χρήστος περιέχει σίγουρα μία περιοχή του x_0

.
Από εκεί και πέρα , έστω x_k

μία ακολουθία σημείων του

τέτοια ώστε $\displaystyle {\lim_{k \to +\infty}x_k=x}$ .
Επειδή η $f^{(n)}$ είναι συνεχής , από την αρχή της μεταφοράς έχουμε $\displaystyle {f^{(n)}(x)=\lim_{k \to +\infty}f^{(n)}(x_k)=0}$ .
Άρα μόλις δείξαμε ότι τα $x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon \in A$ .
Άρα και οι περιοχές των $x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon$ ανήκουν στο

και άρα και τα άκρα τους και ου το κάθε εξής .
Δηλαδή με αυτή την επαναληπτική προσθήκη περιοχών στο

στο τέλος έχουμε ότι A=(a,b)

. ( θα μπορούσε κάποιος να διατυπώσει αυτό το βήμα με μαθηματικά ? )
Άρα $f(x) = 0,\forall x \in (a,b)$ .

Στην άσκηση αυτή προσπάθησα να διατυπώσω κάτι ανάλογο της "αρχής του ταυτοτισμού" από τον τεχνητό χώρο της μιγαδικής ανάλυσης στον πραγματικό χώρο της πραγματικής ανάλυσης . Το αποτέλεσμα μου φαίνεται εντυπωσιακό , βέβαια ίσως είναι λιγότερο εντυπωσιακό αν αναλογιστούμε πόσες είναι οι αναλυτικές συναρτήσεις σε σύγκριση το πλήθος όλων των συναρτήσεων .

Αρχή ταυτοτισμού
Αν οι συναρτήσεις $f,g:G \rightarrow C$ είναι αναλυτικές στον τόπο $G \subseteq C$ με $f(z)g(z)=0,\forall z \in G$ τότε $f \equiv 0$ ή $g \equiv 0$ στον

.

Ε τώρα σαν παράδειγμα συναρτήσεων που είναι απλά παραγωγίσιμες είχα σκεφτεί το εξής :
$f(x)=\left \{ \begin{array}{cl}x^n,&x \leq 0 \\ 0,&0 < x \end{array} \right$

$g(x)=\left \{ \begin{array}{cl}0,&x \leq 0 \\ x^n,&0 < x \end{array} \right$

#5

Δημήτρη να πω πως τώρα αρχίζω και κολυμπάω στα νερά της μιγαδικής αναλυσης..(Τη λέξη αναλυτική εκεί την πρωτοείδα, αφού οι καθηγηταράδες μου στη σχολή, στην Ανάλυση κυριως δε φρόντισαν να μου μείνει κάτι απο αυτό...

Στην εκφώνηση του ο Μοv δε λέει :

Για κάθε χ στο (α,b) και υπάρχει xo στο (α,b) ώστε μπλά..μπλά...μπλά...

Εσύ που είσαι τρανός κάτοχος της μαθηματικής λογικής τι καταλαβαίνεις απο αυτό;

Για το δεύτερο που λές δεν ξέρω αν έχεις δίκιο γιατί αρχικά σκέφτηκα την e^x συνάρτηση που κάνει αυτά που θέλω.

Ή δεν κάνει;
(Εδώ συμπλήρωσα γιατί επιμένω σε κάποια πράγματα. Τώρα αν είμαι λάθος, ε τι να κάνω. Ποτέ δεν υπήρξα Ολύμπιος μαθηματικός που δεν κάνει λάθη.Πάντως τη σκέψη μου τη δίνω!)

Καταλήγω στο εξής : Μήπως η εκφώνηση θα έπρεπε να είναι λίγο καλύτερη;

Τουλάχιστον φίλε Δημήτρη οι λύσεις μου είναι πλήρεις ώστε να κατανοούνται απο τους γνώστες τα λάθη μου.

Αναμένω το ίδιο και απο όλους σας.

Μαθηματικά ή στενογραφία εδώ μέσα. Να δούμε ποιός θα κερδίσει.

#6

chris_gatos έγραψε: Για το δεύτερο που λές δεν ξέρω αν έχεις δίκιο γιατί αρχικά σκέφτηκα την e^x συνάρτηση που κάνει αυτά που θέλω.

Ή δεν κάνει;

Χρήστο, νομίζω πως δεν κάνει. Τότε f(x)g(x) = x|x|^3e^x

και άρα η υπόθεση f(x)g(x) = 0

για κάθε $x \in (-a,a)$ είναι λανθασμένη.

MoV έγραψε:Έστω $A= \{ x \in (a,b) : f^{(n)}(x)=0, \forall n \in N \}$ .
Το όπως είπε και ο Χρήστος περιέχει σίγουρα μία περιοχή του .
Από εκεί και πέρα , έστω μία ακολουθία σημείων του τέτοια ώστε $\displaystyle {\lim_{k \to +\infty}x_k=x}$ .
Επειδή η $f^{(n)}$ είναι συνεχής , από την αρχή της μεταφοράς έχουμε $\displaystyle {f^{(n)}(x)=\lim_{k \to +\infty}f^{(n)}(x_k)=0}$ .
Άρα μόλις δείξαμε ότι τα $x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon \in A$ .
Άρα και οι περιοχές των $x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon$ ανήκουν στο και άρα και τα άκρα τους και ου το κάθε εξής .
Δηλαδή με αυτή την επαναληπτική προσθήκη περιοχών στο στο τέλος έχουμε ότι . ( θα μπορούσε κάποιος να διατυπώσει αυτό το βήμα με μαθηματικά ? )
Άρα $f(x) = 0,\forall x \in (a,b)$ .

Έχεις ήδη δείξει πως το

είναι κλειστό στο (a,b)

. Θα δείξουμε ότι είναι και ανοικτό στο (a,b)

.

Έστω ότι $x \in A$ . Αφού η

είναι αναλυτική στο

τότε υπάρχει περιοχή $(x-\delta,x+\delta)$ ώστε $\displaystyle{f(y) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}}{n!}(x) (y-x)^n = 0}$ για κάθε $y \in (x - \delta,x+\delta)$ . Άρα η

είναι ταυτοτικά μηδέν στο $(x-\delta,x+\delta)$ και άρα το

είναι ανοικτό.

Γνωρίζουμε ότι το

περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο του διαστήματος (a,b)

, και είναι ανοικτό και κλειστό. Θέλουμε να δείξουμε πως A = (a,b)

. (Αυτό είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος που λέει ότι κάθε διάστημα είναι συνδεδεμένο. Βάζω την συνήθη απόδειξη αυτού του θεωρήματος αποφεύγοντας όμως αυτήν την ορολογία:)

Ας μελετήσουμε την συνάρτηση $\phi:(a,b) \to \{0,1\}$ που δίνεται από το $\phi(x) = 1$ αν $x \in A$ και $\phi(x) = 0$ αν $x \notin A$ . Τότε η $\phi$ πρέπει να είναι συνεχής! Πράγματι αν $\phi(x) = 1$ , τότε $x \in A$ και αφού το

είναι ανοικτό πρέπει να έχουμε $y \in A$ , δηλαδή $\phi(y) = 1$ για κάθε

σε μια περιοχή του

. Επίσης αν $\phi(x) = 0$ τότε $x \notin A$ και αφού το

είναι κλειστό πρέπει να έχουμε $y \notin A$ , δηλαδή $\phi(y) = 0$ για κάθε

σε μια περιοχή του

. Άρα η $\phi$ είναι όντως συνεχής. Για να συμβαίνει όμως αυτό πρέπει η $\phi$ να είναι είναι ταυτοτικά 0 είτε ταυτοτικά 1 (αλλιώς θα παραβιαζόταν το θεώρημα Bolzano). Αφού όμως $\phi(x_0) = 1$ τότε η $\phi$ είναι ταυτοτικά 1 δηλαδή A = (a,b)

.

#7

Nαι το κατάλαβα πως δε λειτουργεί μετέπειτα όμως.

Τι να κάνουμε;

Πάντως προσπάθησα...

#8

chris_gatos έγραψε:Nαι το κατάλαβα πως δε λειτουργεί μετέπειτα όμως.

Τι να κάνουμε;

Πάντως προσπάθησα...

Και πολύ καλά έκανες. Αν δεν προσπαθούμε εμείς υπό το φόβο του λάθος πως θα πείσουμε και τους μαθητές να προσπαθούν;

Εγώ όμως από την στιγμή που το πρόσεξα δεν έπρεπε να το επισημάνω;

Να δυσκολέψω το δεύτερο ερώτημα (το οποίο έχει απαντηθεί από τον MoV):

Να βρεθούν ομαλές συναρτήσεις f,g

στο

(δηλαδή

φορές παραγωγίσιμες για κάθε

) ώστε

για κάθε $x \in (-1,1)$ αλλά καμία από τις f,g

δεν είναι ταυτοτικά 0 στο (-1,1)

.

[Φυσικά τουλάχιστον μία από τις

και

θα είναι ομαλή αλλά όχι αναλυτική! Είναι δυο διαφορετικές έννοιες αν και δεν είναι εύκολο να αποδειχθεί.]

MoV · #9

Demetres έγραψε: Να βρεθούν ομαλές συναρτήσεις στο (δηλαδή φορές παραγωγίσιμες για κάθε ) ώστε για κάθε $x \in (-1,1)$ αλλά καμία από τις δεν είναι ταυτοτικά 0 στο .

[Φυσικά τουλάχιστον μία από τις και θα είναι ομαλή αλλά όχι αναλυτική! Είναι δυο διαφορετικές έννοιες αν και δεν είναι εύκολο να αποδειχθεί.]

$f(x)=\left \{ \begin{array}{cl}e^{-\frac{1}{x^2}},&x < 0 \\ 0,&0 \leq x \end{array} \right$

$g(x)=\left \{ \begin{array}{cl}0,&x \leq 0 \\ e^{-\frac{1}{x^2}},&0 < x \end{array} \right$
$f^{(n)}(0)=g^{(n)}(0)=0$ όμως δεν υπάρχει περιοχή του μηδενός στην οποία

ή

να είναι ταυτοτικά μηδέν .

#10

Σωστά. Η συνάρτηση

είναι το κλασσικό παράδειγμα ομαλής αλλά μη αναλυτικής συνάρτησης.

Θέλει βέβαια κάποια δουλειά για να αποδειχθεί ότι οι f,g

είναι ομαλές. Μια υπόδειξη είναι να δειχθεί επαγωγικά ότι $g^{(n)}(x) = \begin{cases} 0 & x \leqslant 0 \\ \frac{P_n(x)}{x^{3n}} e^{-1/x^2} & x > 0\end{cases}$

για κάποια πολυώνυμα P_n(x)

.

#11

Demetres έγραψε:Σωστά. Η συνάρτηση είναι το κλασσικό παράδειγμα ομαλής αλλά μη αναλυτικής συνάρτησης.

Θέλει βέβαια κάποια δουλειά για να αποδειχθεί ότι οι είναι ομαλές. Μια υπόδειξη είναι να δειχθεί επαγωγικά ότι $g^{(n)}(x) = \begin{cases} 0 & x \leqslant 0 \\ \frac{P_n(x)}{x^{3n}} e^{-1/x^2} & x > 0\end{cases}$

για κάποια πολυώνυμα .

Αυτό υπάρχει και στον τόμο ΙΙβ του Απειροστικού του Νεγρεπόντη.

Μηδενική συνάρτηση

Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση