Τυπος συναρτησης

antegeia · #1

Εστω συναρτηση συνεχης στο $(0,+\infty)$ και για a,b>0 ισχυει οτι
f(a)-f(b)=(b-a)/2[f(a)/a-f(b)/b]

. Να δειχθει οτι ειναι παρ/μη και να βρεθει ο τυπος της.

Α.Κυριακόπουλος · #2

antegeia έγραψε:Εστω συναρτηση συνεχης στο $(0,+\infty)$ και για a,b>0 ισχυει οτι
. Νδο ειναι παρ/μη και να βρεθε ο τυπος της.

Έστω ότι μια συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ πληροί τις δοσμένες συνθήκες, δηλαδή είναι συνεχής και ισχύει:
$\displaystyle{f(x) - f(y) = \frac{{y - x}}{2}\left[ {\frac{{f(x)}}{x} - \frac{{f(y)}}{y}} \right]}$ , για κάθε $\displaystyle{x,y \in \left( {0, + \infty } \right)}$ (1)
Θεωρούμε έναν πραγματικό αριθμό $\displaystyle{{x_0} > 0}$ . Έτσι, για κάθε πραγματικό αριθμό x>0 με $\displaystyle{x \ne {x_0}}$ , έχουμε:
$\displaystyle{\frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \frac{1}{2}\left[ { - \frac{{f(x)}}{x} + \frac{{f({x_0})}}{{{x_0}}}} \right]}$ .
Και επειδή η f είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0}}$ , έχουμε:
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{2}\left[ { - \frac{{f(x)}}{x} + \frac{{f({x_0})}}{{{x_0}}}} \right] = 0}$ .
Συνεπώς, η f είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{{x_0}}$ με παράγωγο 0. Και τούτο, για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{{x_0} > 0}$ . Άρα, η f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ και ισχύει:
$\displaystyle{f'(x) = 0}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ .
Συνεπώς, η f είναι σταθερή στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$ . Έστω ότι f(x)=C. Αντικαθιστώντας την (1), έχουμε, για κάθε $\displaystyle{x,y \in \left( {0, + \infty } \right)}$ : $\displaystyle{0 = \frac{{y - x}}{2}\left( {\frac{C}{x} - \frac{C}{y}} \right)}$ . Από αυτή (π.χ.) με x=1 και y=2, βρίσκουμε: C=0.
Άρα, τότε : f(x)=0, για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ .
Αντιστρόφως. Όπως βρίσκομαι εύκολα, η συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R}$ με f(x)=0 ( μηδενική) πληροί τις δοσμένες συνθήκες και άρα είναι η μοναδική ζητούμενη.

Υ.Γ.
Αγαπητέ antegeia, τι σημαίνει: Νδο; (συγγνώμη, αλλά θα επανέρχομαι κάθε φορά που θα το βλέπω γραμμένο ).
Αυτά , ίσως και άλλα, πιθανόν να τα χρησιμοποιούμε στο πρόχειρο για ευκολία μας και μόνον για τον εαυτόν μας. Ποτέ όμως δεν τα γράφουμε όταν παρουσιάζουμε επίσημα μία άσκηση ή την λύση της και κυρίως όταν την δημοσιεύουμε. Στα μαθηματικά δεν χρησιμοποιούμε κανενός είδους στενογραφία.
•Με την ευκαιρία αυτή, θέλω να τονίσω ότι ούτε τα σύμβολα της Μαθηματικής Λογικής( της συνεπαγωγής, της ισοδυναμίας, του για κάθε, του υπάρχει κτλ.) είναι σύμβολα στενογραφίας και ότι δεν επιτρέπεται να τα γράφουμε μέσα στα κείμενά μας. Τα σύμβολα αυτά δεν είναι μια μορφή στενογραφίας.
• Θα ήθελα να παρακαλέσω όλους τους συναδέλφους, αλλά και όλους όσοι είναι μέλη του mathematica, να μην χρησιμοποιούν τα παραπάνω σύμβολα στα κείμενά τους, ως σύμβολα στενογραφίας, γιατί εκτός του ότι δεν είναι «κομψό» , εκτός του ότι δείχνουν μια προχειρότητα και εκτός του ότι δεν δείχνουν και μεγάλο σεβασμό προς αυτούς που θα τα διαβάσουν, κάνουν τα μαθηματικά δυσκολότερα από ότι είναι.
Φιλικά.

S.E.Louridas · #3

Επιτρέψτε μου να εκφράσω την άποψη μου και ειδικώτερα γιά τους νεώτερους.
Ο τρόπος που ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Αντώνης Κυριακόπουλος έλυσε την άσκηση αυτή (εύρεση συνάρτησης ) αποτελεί τον ΟΡΙΣΜΟ του ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ τρόπου εργασίας σε τέτοια προβλήματα. Αυτό σημαίνει ότι η Μαθηματική Ακρίβεια συνοδεύεται και από ομορφιά που κάνει την ενασχόληση με τέτοια θέματα ευχάριστη διαδικασία.
Ας ληφθεί, λοιπόν ο τρόπος αυτός σαν πυξίδα εργασίας γιά τέτοια θέματα.

Υ.Γ.
Κατά την άποψη μου θα ήταν σοφό να μάθει κανείς να χρησιμοποιεί τα Επιστημονικά σύμβολα (όπως τα χρησιμοποίησε ο Αντώνης Κυριακόπουλος) Της Μαθηματικής επιστήμης. Η θετική λειτουργικότητα τους είναι ανυπολόγιστη.

S.E.Louridas

Τυπος συναρτησης

Τυπος συναρτησης

Re: Τυπος συναρτησης

Re: Τυπος συναρτησης

Μέλη σε σύνδεση