Εύρεση ορίου

antegeia · #1

Να υπολογιστεί το όριο

$\lim_{n\rightarrow \infty}\biggl({\frac{1+\sum_{k=1}^{n}{\frac{n^k(1+n^k)}{1+n^{2k}}}}{n+1}}\biggr)^{\frac{1}{n(n+1)}}$

Edit από ΓΣ: Μπήκαν τόνοι στις λέξεις, όπως απαιτούν τα σωστά ελληνικά (και οι κανονισμοί μας).

#2

antegeia έγραψε:Να υπολογιστει το οριο

$\lim_{n\rightarrow \infty}\biggl({\frac{1+\sum_{k=1}^{n}{\frac{n^k(1+n^k)}{1+n^{2k}}}}{n+1}}\biggr)^{\frac{1}{n(n+1)}}$

Χμ .. αρκετά παλιό θέμα ..

Ισχύει $\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{n^k}\left( {{n^k} + 1} \right)}}{{{n^{2k}} + 1}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{n^{2k}} + {n^k}}}{{{n^{2k}} + 1}}} \geqslant \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{n^{2k}} + 1}}{{{n^{2k}} + 1}}} = n}$ . Επίσης $\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{n^k}\left( {{n^k} + 1} \right)}}{{{n^{2k}} + 1}}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{{n^{2k}} + 1}}{{{n^{2k}} + 1}} + \frac{{{n^k} - 1}}{{{n^{2k}} + 1}}} \right)} = n + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{n^k} - 1}}{{{n^{2k}} + 1}}} \leqslant 2n}$ .

Τότε $\displaystyle{\frac{{1 + n}}{{1 + n}} \leqslant \frac{{1 + \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{{n^k}\left( {{n^k} + 1} \right)}}{{{n^{2k}} + 1}}} }}{{n + 1}} \leqslant \frac{{1 + 2n}}{{n + 1}} \leqslant 2 \Rightarrow 1 \leqslant {\left( {\frac{{1 + \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{{n^k}\left( {{n^k} + 1} \right)}}{{{n^{2k}} + 1}}} }}{{n + 1}}} \right)^{\dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}}} \leqslant {2^{\dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}}}}$
Επομένως (κριτήριο παρεμβολής) $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{1 + \sum\limits_{k = 1}^n {\dfrac{{{n^k}\left( {{n^k} + 1} \right)}}{{{n^{2k}} + 1}}} }}{{n + 1}}} \right)^{\dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}}} = 1}$

Εύρεση ορίου

Εύρεση ορίου

Re: Ευρεση οριου

Μέλη σε σύνδεση