Aνισωση

antegeia · #1

Θεωρουμε τους πραγματικους αριθμους a,b,c: a+b+c=1. Nα δειχθει οτι

$10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq 1$

nickthegreek · #2

Να δώσω μία προσπάθειά μου στην άσκηση...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Eλπίζω να είναι σωστή...
Νίκος Αθανασίου

dimitris pap · #3

antegeia έγραψε:Θεωρουμε τους πραγματικους αριθμους a,b,c: a+b+c=1. Nα δειχθει οτι

$10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq 1$

Ετσι όπως είναι η ανισότητα αυτή ΔΕΝ ισχύει! Παράδειγμα: (a,b,c)=(2,0,-1)

Νομίζω πρέπει να πεις μη αρνητικούς πραγματικούς

Υ.Γ. πολύ ωραία λύση Νίκο!

nickthegreek · #4

Ναι όντως αυτό που λέει ο dimitris pap ισχύει και τον ευχαριστώ που το πρόσεξε!!!!!

Με εκτίμηση,
Νίκος

Cauchy-Schwartz · #5

Δηλαδή καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι η άσκηση έχει λανθασμένη συνθήκη ?
Και τι τελίκα λύσεις έχει?Αν έχει.

nickthegreek · #6

Νομίζω ότι η σωστή συνθήκη θα ήταν ότι α,β,γ μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί.Aπό εκεί και πέρα τα πράγματα παίρνουν τον δρόμο τους όπως στην λύση που έδωσα.(Έτσι πιστεύω τουλάχιστον)

#7

Μπορούμε να πάρουμε μια άλλη λύση με ανάλυση της Γ Λυκείου!
Θα περιγράψω τα κύρια βήματα
1. Αφού $\displaystyle{a,b,c \ge 0 , c=1-a-b}$ τὄτε θεωρώ το $\displaystyle{x=a}$ μεταβλητή και το $\displaystyle{1-b=m}$ παράμετρο ενώ όπου c βάζω το 1-b-x=m-x. Το $\displaystyle{x\in[0,a]}$ που είναι το πεδίο ορισμού μας για κάθε τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{m\in [0,1]}$ Αυτό προκύπτει από την συν αλήθευση των ανισώσεων $\displaystyle{a,b,c \in [0,1]}$ και τις ονομασίες που δώσαμε
2. Η παράγωγος $\displaystyle{f'(x)=30(x^2-(m-x)^2)-45(x^4-(m-x)^4)}$ παραγοντοποιείται εύκολα (2 διαφορές τετραγώνων) και γίνεται $\displaystyle{f'(x)=15m(2x-m)(-6x^2+6mx+2-3m^2)}$
3. Το τριώνυμο έχει θετική διακρίνουσα και το m/2 βρίσκεται πάντα ανάμεσα στις ρίζες του
4. Διαπιστώνουμε ότι αν $\displaystyle{\sqrt{\frac{2}{3}}<m<1}$ οι ρίζες είναι μέσα στο ΠΟ ενώ αν $\displaystyle{0<m<\sqrt{\frac{2}{3}}$ οι ρίζες είναι εκτός
5.Από τους πίνακες μονοτονίας βρίσκουμε που η f παρουσιάζει ελάχιστο και υπολογίζουμε το ελάχιστο αυτό (στην 1η περίπτωση σε 3 θεσεις 0,m/2,m, στην 2η σε 2 θέσεις 0 και m) περιμένοντας να βγει η μικρότερη από αυτές $\displaystyle{\ge 1}$
6. Εξετάζουμε τι συμβαίνει όταν m=0

kwstas12345 · #8

Μια πιο σύνθετη λύση με την ε΄τρεση ακροτάτων συναρησεων πολλών μεταβλητων...
Θεωρώ πως πρέπει οι a,b,c να είναι μη αρνητικοί αριθμοί.Θεωρώ a,b,c>0:

$\displaystyle P\left(a,b,c \right)=10\sum{a^{3}}-9\sum{a^{5}}$ υπό τον περιορισμό: $\displaystyle a+b+c=1$

Eίναι: $\displaystyle gradP=\left(\frac{\partial P}{\partial a},\frac{\partial P}{\partial b},\frac{\partial P}{\partial c} \right)=\left(30a^{2}-45a^{4},30b^{2}-45b^{4},30a^{2}-45c^{4} \right)$
$\displaystyle$

$\displaystyle grad\left(x+y+z \right)=\left(1,1,1 \right)$

Για να υπάρχει ελάχιστο εντός της περιοχής που εξετάζουμε απαιτούμε την παραλληλία του gradP με το grad του περιορισμού: $\displaystyle gradP=\lambda grad\left(x+y+z \right)$ όπου λ μια παράμετρος.Έτσι οδηγούμαστε στο σύστημα:
$\displaystyle 30a^{2}-45a^{4}=\lambda$

$\displaystyle 30b^{2}-45b^{4}=\lambda$ $\displaystyle \Rightarrow a^{2}=b^{2}=c^{2}$

$\displaystyle 30c^{2}-45c^{4}=\lambda$

Aπό την τελευταία προκύπτει και υπό τον περιορισμό ότι το αθροισμα τους ειναι 1 και είναι θετικοί αριθμοί προκύπτει η τριάδα: $\displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right)$ η οποία αποτελεί το μοναδικό κρίσημο σημείο της P όταν a,b,c>0
Ακόμη:
$\displaystyle P_{aa}=60a-180a^{3},P_{bb}=60b-180b^{3},P_{cc}=60c-180c^{3}$
$\displaystyle P_{ab}=P_{ba}=P_{cb}=P_{bc}=P_{ac}=P_{ca}=0$

Kαι ορίζω: $\displaystyle D_{1}=P_{xx}$ , $\displaystyle D_{2}=\begin{vmatrix} P_{aa} &P_{ab} \\ P_{ba}& P_{bb} \end{vmatrix}$

$\displaystyle D_{3}=\begin{vmatrix} P_{aa} &P_{ab} &P_{ac} \\ P_{ba} &P_{bb} &P_{bc} \\ P_{ca}&P_{cb} & P_{cc} \end{vmatrix}$

Για το σημείο: $\displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right)$ είναι: $\displaystyle P_{aa}=P_{bb}=P_{cc}=\frac{40}{3}$
Έτσι: $\displaystyle D_{1}=\frac{40}{3}>0$

$\displaystyle D_{2}=\begin{vmatrix} \frac{40}{3} &0 \\ 0& \frac{40}{3} \end{vmatrix} =\frac{40^{2}}{9}>0$

$\displaystyle \begin{vmatrix} \frac{40}{3} & 0 & 0\\ 0& \frac{40}{3} &0 \\ 0 & 0& \frac{40}{3} \end{vmatrix}=\frac{40}{3}\begin{vmatrix} \frac{40}{3} & 0\\ 0 & \frac{40}{3} \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 0 & 0\\ 0 & \frac{40}{3} \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 0 &\frac{40}{3} \\ 0 & 0 \end{vmatrix}=\left(\frac{40}{3} \right)^{3}>0$

Eπομένως το $\displaystyle \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right)$ είναι θέση ολικού ελαχιστου,το οποίο ελάχιστο είναι ίσο με 1.

Εξετάζοντας την συμπεριφορά της P στα άκρα του διαστήματος εκεί όπου ένας ή δύο από τους a,b,c είναι 0 οι τριάδα

$\displaystyle \left(1,0,0 \right)$ και όλες οι αναδιατάξεις της δίνουν τιμή 1.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:
Γενικά,άν η $\displaystyle f:R^{n}\rightarrow R$ έχει τοπικό ακρότατο στο $\displaystyle x_{0}$ δεν σημαίνει ότι είναι και ολικό αφου πρέπει να μελετησουμε την συμπεριφορα της f στο σύνολο του πεδιου ορισμού της.

Eλπίζω να μην έχω χάσει κάπου...

Φιλικά,
Κώστας

Aνισωση

Aνισωση

Re: Aνισωση

Re: Aνισωση

Re: Aνισωση

Re: Aνισωση

Re: Aνισωση

Re: Aνισωση

Re: Aνισωση

Μέλη σε σύνδεση