Eίναι η παράγωγος της f συνεχής; Μέρος Ι

#1

Μα φυσικά όχι. Το πιό απλό αντιπαράδειγμα που έχω υπ' όψιν μου είναι το ακόλουθο
$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}\eta \mu \frac{1}{x},\,\,\,\,\,x \ne 0 \\ 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0\, \\ \end{array} \right.$
Το ερώτημα αυτό ετέθη και σε ερώτημα Σωστό-Λάθος το 2000. 'Ηταν, κατά την γνώμη μου, το πιό δύσκολο Σωστό-Λάθος που έχει τεθεί. Διότι τα παιδιά δεν είχαν κάπου να πατήσουν για να απαντήσουν. Ακόμη και μαθητές που είχαν διδαχθεί το παραπάνω αντιπαράδειγμα τελικά απάντησαν τυχαία. Ποιός θυμόταν τόσες λεπτομέρειες με τα 14 μαθήματα;
Πρόσφατα ένας πολύ ικανός μαθητής μου έθεσε το ακόλουθο ερώτημα:

ΟΚ η παράγωγος δεν είναι συνεχής αλλά που είναι το λάθος στην παρακάτω "απόδειξη";
'Εστω $f:\Delta \rightarrow R$ παραγωγίσιμη. Για τυχόν $x_{0}\in \Delta$ έχουμε:
$f^{\prime }\left( x_{0}\right) =\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}}=_{\left( \frac{0}{0}\right) }=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{\left( f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) \right) ^{\prime }}{\left( x-x_{0}\right) ^{\prime }}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}\dfrac{\left( f\left( x\right) \right) ^{\prime }}{1}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{0}}f^{\prime }\left( x\right)$
επομένως η παράγωγος της συνάρτησης

είναι συνεχής στο τυχόν x_0

.

Να έχετε μία καλή μέρα
Μαυρογιάννης

dimgiann · #2

Πολύ ευστοχο θέμα αλλα δύσκολο για μαθητές λυκείου.
Εξηγεί όμως τη σωστή χρήση του κανόνα l’ Hospital αφού η ισότητα προυποθέτει την ύπαρξη του τελευταίου ορίου.
Καλημέρα
Δημήτρης Γιαννόπουλος

Eίναι η παράγωγος της f συνεχής; Μέρος Ι

Eίναι η παράγωγος της f συνεχής; Μέρος Ι

Re: Eίναι η παράγωγος της f συνεχής; Μέρος Ι

Μέλη σε σύνδεση