Από ορθογώνιο σε...

[kostas136]

Έστω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και τα μέσα των πλευρών του. Βρείτε το είδος του τετράπλευρου το λόγο και να δείξετε ότι (όπου το εμβαδό και η περίμετρος αντίστοιχα). Μήπως ισχύει και το αντίστροφο;

[stavros11]

1) Για το είδος του KLMN:
Εύκολα αποδεικνύεται ότι τα τρίγωνα που δημιουργούνται ανάμεσα στο ορθογώνιο και το KLMN, δηλαδή τα ANK, KDL, NBM και MLC είναι όλα ίσα μεταξύ τους, αφού είναι όλα ορθογώνια και έχουν 2 πλευρές ίσες. Από εδώ ξέρουμε ότι KN=KL=ML=MN άρα το τετράπλευρο KLMN είναι ρόμβος, αφού έχει και τις 4 πλευρές του ίσες.



2) Για τον λόγο :
Ξέρουμε ότι το εμβαδόν του ρόμβου ισούται με αυτό του ορθογωνίου-των τριγώνων.
Για το εμβαδόν του ABCD έχουμε:

Το εμβαδόν του KLMN είναι:

Έτσι ο λόγος ισούται με:



3) Για τις περιμέτρους:
Η περίμετρος του ABCD είναι:
Η περίμετρος του KLMN είναι:

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΑΝΚ ξέρουμε ότι ισχύει:

Άρα πρέπει να αποδείξουμε την ανίσωση:

που για να ισχύει πρέπει ΑΝ>0 και ΑΚ>0 (ή ΑΝ<0 και ΑΚ<0). Το πρώτο ισχύει σίγουρα αφού οι αριθμοί είναι μήκος πλευρών, άρα είναι όλοι θετικοί.



Για το αντίστροφο, δεν καταλαβαίνω τι εννοείτε...

[kostas136]

Σταύρο, πολύ ωραία, μπράβο σου, δύο λόγια μόνο για συντόμευση. Για το εμβαδό του ρόμβου να χρησιμοποιείς το ημιγινόμενο των διαγωνίων του (προσπάθησε να δείξεις ότι αυτό ισχύει για κάθε κυρτό τετράπλευρο με κάθετες διαγωνίους - είναι μια ευχάριστη ασκησούλα). Για την περίμετρο θέλω να βρείς σε ποιό τρίγωνο αρκεί να εφαρμόσεις τριγωνική ανισότητα το οποίο θα σου λύσει τα χέρια, είναι κατηφόρα μετά. Για το αντίστροφο: σκέψου αν ξεκινούσαμε με ρόμβο και θεωρούσαμε τα μέσα των πλευρών του...
Επίσης θέλω να προσπαθήσεις μια άλλη ωραία άσκηση που νομίζω ότι μπορεί να θεωρηθεί λήμμα για βοήθεια σε άλλες ασκήσεις. Έστω κυρτό τετράπλευρο με 2 απέναντι γωνίες του ορθές, π.χ. Να δείξεις ότι υπάρχει κύκλος που διέρχεται από τις κορυφές του (είναι εγγράψιμο) και μάλιστα η διάμετρος αυτού είναι η διαγώνιος των άλλων κορυφών, στην δική μας περίπτωση η

[Stavroulitsa]

Καλησπέρα! Προσθέτω και μια λίγο διαφορετική λύση
Έχουμε MN=ML=LK=KN=AD/2=AC/2 γιατί συνδέουν τα μέσα των τριγώνων που σχηματίζουν οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου με τις πλευρές του παραλληλογράμμου, άρα το σχήμα MLKN είναι ρόμβος.
Έχουμε
Επειδή κάθε πλευρά ενός τριγωνου είναι μικρότερη ή ίση από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών θα ισχύει:

διότι AK=KD=CM=MB, AN=NB=CL=LD και KN=NM=ML=LK.

[stavros11]

Επίσης θέλω να προσπαθήσεις μια άλλη ωραία άσκηση που νομίζω ότι μπορεί να θεωρηθεί λήμμα για βοήθεια σε άλλες ασκήσεις. Έστω κυρτό τετράπλευρο με 2 απέναντι γωνίες του ορθές, π.χ. Να δείξεις ότι υπάρχει κύκλος που διέρχεται από τις κορυφές του (είναι εγγράψιμο) και μάλιστα η διάμετρος αυτού είναι η διαγώνιος των άλλων κορυφών, στην δική μας περίπτωση η

Από το σχήμα:
Έχουμε ότι , αφού είναι η μία από τις ορθές του τετραπλεύρου. Αφού από τη θεωρία οι εγγεγραμμένες ορθές βαίνουν σε ημικύκλιο, τότε το σχήμα DCB (όχι το τρίγωνο) είναι ημικύκλιο. Άρα η DB είναι διάμετρος του κύκλου.

Νομίζω ότι με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι αν υπάρχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο που είναι εγγράψιμο σε κύκλο τότε η υποτείνουσα του είναι διάμετρος. (Πχ. στην παραπάνω άσκηση να υπήρχε μόνο το ADB που θα ήταν ορθογώνιο τρίγωνο).

[kostas136]

Σταύρο, μπράβο σου που ασχολείσαι. Θα ήθελα να χρησιμοποιήσεις ένα θεώρημα που ισχύει στα ορθογώνια τρίγωνα (δεν θέλω να σου πώ περισσότερα για να μην σου αφαιρέσω την χαρά να το σκεφτείς μόνος σου) με το οποίο θα διαπιστώσεις ότι οι 4 κορυφές ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο. Το συμπέρασμα από αυτό το θεώρημα το έχεις ήδη διατυπώσει στην δεύτερη παράγραφο αυτών που έχεις γράψει.

[stavros11]

Σταύρο, μπράβο σου που ασχολείσαι. Θα ήθελα να χρησιμοποιήσεις ένα θεώρημα που ισχύει στα ορθογώνια τρίγωνα (δεν θέλω να σου πώ περισσότερα για να μην σου αφαιρέσω την χαρά να το σκεφτείς μόνος σου) με το οποίο θα διαπιστώσεις ότι οι 4 κορυφές ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο. Το συμπέρασμα από αυτό το θεώρημα το έχεις ήδη διατυπώσει στην δεύτερη παράγραφο αυτών που έχεις γράψει.

Το σημείο είναι το κέντρο του κύκλου. Δεν ξέρω κάποιο θεώρημα, αλλά απλά με λογική.
Έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC με Α=90° και ξέρουμε ότι η BC (η υποτείνουσα) είναι η διάμετρος του κύκλου στον οποίο είναι εγγράψιμο (με τον τρόπο που είπαμε παραπάνω). Άρα αν Ο το κέντρο του κύκλο έχουμε ότι BO=CO=BC/2=r την ακτίνα δηλαδή του κύκλου. Αν φέρουμε και ευθύγραμμο τμήμα AO, ξέρουμε ότι AO=r αφού το A είναι σημείο του κύκλου. Καταλήγουμε ότι τα σημεία A, B και C που είναι η κορυφές του τριγώνου ισαπέχουν από το O που είναι το κέντρο του κύκλου.

Το πήγα όμως λίγο ανάποδα ή μου φαίνεται ??

[kostas136]

Από αυτά που έχεις γράψει, φαίνεται το θεώρημα: η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της, δηλαδή το μέσο της υποτείνουσας ισαπέχει από τις κορυφές, άρα είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (ισχύει και το αντίστροφο: αν σε τρίγωνο η διάμεσος σε μια πλευρά είναι ίση με το μισό της τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα αυτήν την πλευρά). Να μας μείνει το λήμμα λοιπόν: αν σε κυρτό τετράπλευρο 2 απέναντι γωνίες είναι ορθές τότε ο περιγεγραμμένος κύκλος του έχει διάμετρο την διαγώνιο των άλλων κορυφών. Σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες.