Ακόμη μια άλγεβρα..

giannisn1990 · #1

Βρείτε όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (a,b)

ώστε να ισχύει $(a^{2}+1)(b^{4}-2ab^{2}+2a^{2})=2a^{3}$

#2

Μήπως εννοείται κάτι άλλο;

Αν α = β = 0 ισχύει...

Γιώργος Ρίζος

#3

... πρέπει
$\frac{2}{a(a^2+1)}=x^2-2x+2\ge 1$ αρα αρκεί $0\le a\le 1$

giannisn1990 · #4

Rigio έγραψε:Μήπως εννοείται κάτι άλλο;

Αν α = β = 0 ισχύει...

Γιώργος Ρίζος

Εννοώ δηλαδή να βρεθούν όλα τα ζέυγη αριθμών (α,β) που να επαληθεύουν την εξίσωση

Α.Κυριακόπουλος · #5

Giannisn 1990 με συγχωρείτε. Άλλο πρόβλημα είναι να αποδείξουμε την ύπαρξη δύο αριθμών που να επαληθεύουν κάποια σχέση και άλλο πρόβλημα είναι να βρούμε όλους τους αριθμούς αυτούς. Στην αρχή γράφετε «Να εξετάσετε αν υπάρχουν…» και μετά απαντώντας στον κ. Ρίζο λέτε να βρεθούν.

Χρηστος · #6

Μια λύση με ανισώσεις

giannisn1990 · #7

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Giannisn 1990 με συγχωρείτε. Άλλο πρόβλημα είναι να αποδείξουμε την ύπαρξη δύο αριθμών που να επαληθεύουν κάποια σχέση και άλλο πρόβλημα είναι να βρούμε όλους τους αριθμούς αυτούς. Στην αρχή γράφετε «Να εξετάσετε αν υπάρχουν…» και μετά απαντώντας στον κ. Ρίζο λέτε να βρεθούν.

Ναι χίλια συγγνώμη τώρα το πρόσεξα και εγώ ...αλλά αυτά παθαίνει κάποιος μετά τον ύπνο.

Α.Κυριακόπουλος · #8

Κύριε Λώλη. Με συγχωρείτε. Αυτά που βρήκατε στο συνημμένο είναι αναγκαίες συνέπειες της δοσμένης ισότητας. Από πού προκύπτει ότι οι αριθμοί που βρήκατε( ο α πρώτο διάστημα και ο β στο δεύτερο) επαληθεύουν την δοσμένη ισότητα; Νομίζω από πουθενά.

Χρηστος · #9

Κύριε Κυριακόπουλε γειά σας
απο λάθος στο συνημμένο δεν υπάρχει διερευνηση
Για α=0 τότε β=0
Για β=ρίζα 2 τότε α=1

Α.Κυριακόπουλος · #10

Χρηστος έγραψε:Κύριε Κυριακόπουλε γειά σας
απο λάθος στο συνημμένο δεν υπάρχει διερευνηση
Για α=0 τότε β=0
Για β=ρίζα 2 τότε α=1

Κύριε Χρήστο Λώλη και πάλι με συγχωρείτε, αλλά δεν καταλαβαίνω για ποια διερεύνηση μιλάτε. Στο πρόβλημα δεν υπάρχει παράμετρος για να κάνουμε διερεύνηση. Υπάρχουν δύο άγνωστοι που ζητάμε να τους βρούμε, το α και το β.
Για τις άλλες τιμές του β, στο διάστημα που βρήκατε, ποιο είναι το α;

Χρηστος · #11

Κύριε κυριακόπουλε
Αν θεωρήσουμε το α σταθερο θα έχουμε συνεχή συνάρτηση ως προς β ομοίως και ως προς α άρα παίρνουν και όλες τις τιμές μεταξύ των ακραίων τιμων .

Α.Κυριακόπουλος · #12

Κύριε Χρήστο Λώλη. Και πάλι δεν καταλαβαίνω.
1) Που ξέρετε ότι σε κάθε τιμή του α αντιστοιχεί μία μόνο τιμή του β για να μιλάτε για συνάρτηση; Ή ότι σε κάθε τιμή του β αντιστοιχεί μια μόνο τιμή του α; ( αυτό, όπως μπορείτε να δείτε αμέσως δεν συμβαίνει).
2) Και πάλι. σας λέω: Που ξέρετε ότι οι τιμές που έχετε βρει στο συνημμένο επαληθεύουν την δοσμένη ισότητα;

Χρήστος Λαζαρίδης · #13

Σύμφωνα με την αρχική διατύπωση της άσκησης, έχουμε την απάντηση
Ναι υπάρχουν είναι οι α = β= 0 ή α = β =1 ή α =1,β =-1 ,οπως πολύ σωστά απάντησε ο Γιώργος, αφού ικανοποιούν την αρχική.
Σύμφωνα με την διατύπωση, να βρεθούν οι πραγματικοί α,β τέτοιοι ώστε...
Η απάντηση εδώ δεν είναι καθόλου εύκολη και ξεφεύγει τελείως απο την ύλη της Α΄Λυκείου. Είδατε τις σχετικές παρουσιάσεις του Ροδόλφου, του Χρήστου και την παρέμβαση του Αντώνη.
Με την άδεια του gianish1990
1) Αν είχαμε τον περιορισμό $a\geq 1$ , τότε η σχέση παίρνει τη μορφή
$\left(1+a^{2} \right)\left(b^{2}-a \right)^{2}+a\left(a-1 \right)\left(a^{2}+a+2) \right)=0\Leftrightarrow$
$a=b=1,a=1 \kappa \alpha \iota b=-1$
2) Αν αντί α στο δεύτερο μέλος είχαμε $2a^{3}$ , τότε προκύπτει: $\left(1+a^{2} \right)\left(b^{2}-a^{2} \right)^{2}+a^{2}\left(a-1 \right)^{2}=0$ , που εύκολα προκύπτουν οι λύσεις, αφού ισχύει $a\geq 0$
Νομίζω ότι η τελευταία παρουσίαση, με μετατροπή της άσκησης, έχουμε μία άσκηση στην Α΄Λυκείου.
Φιλικά Χρήστος

#14

Είναι δυνατόν, να εξηγήσεις λίγο το 1);; Δηλαδή πως γίνεται α>=1 και α=b=0;

Χρήστος Λαζαρίδης · #15

Μετά τον περιορισμό για το α, που τον έβαλα μόνος μου, πρόκειται για άθροισμα δύο μη αρνητικών πραγματικών.
Άρα πρέπει ταυτόχρονα και οι δύο προσθετέοι να είναι ίσοι με 0 δηλαδή ...

#16

Ναι, καταπληκτική σκέψη όντως αλλά δεν καταλαβαίνω ακόμη πως γίνεται να είναι α>=1 και να κάνουμε δεκτή τη λύση α=b=0;

Χρήστος Λαζαρίδης · #17

Έχεις δίκιο η λύση α = 0, απορρίπτεται.
Διόρθωσα τη λύση.

#18

Το μόνο που μένει είναι να μας εξηγήσει ο Γιάννης τι εννοεί ο ποιητής ή να μας δώσει και μια προτεινόμενη αντιμετώπιση.. Ειδικά αυτή η περίπτωση, 0<=α<1, στο λαιμό μου κάθησε!

Α.Κυριακόπουλος · #19

Αγαπητέ Χρήστο Λαζαρίδη.
1) Από την δοσμένη ισότητα προκύπτει ότι $0\leq \alpha \leq 1$ .Άρα δεν μπορεί να ισχύει $\alpha \geq 1$ ,παρά μόνο α=1. Αλλά τότε πρόκειται για μια διτετράγωνη εξίσωση ως προς β(β=1 ή β=-1).
2) Ανεξάρτητα όμως από αυτά, όταν σε ένα πρόβλημα αλλάξουμε έστω και μια υπόθεση, τότε αλλάζει και το πρόβλημα( το ανέκδοτο με τη γιαγιά μου και τα καρούλια το ξέρεις- χιούμορ).

giannisn1990 · #20

Όπως πολύ σωστά επισήμανε ο κ. Κυριακόπουλος όλες αυτές οι συνθηκες με τα α,β που βρέθηκαν είναι ικανές αλλά όχι αναγκαίες ..Δηλαδή ναι μεν , αν τα α,β ικανοποιούν την αρχική εξίσωση τοτε θα έχουν αυτές τις ιδιότητες ,αλλά αφενώς δε αν ικανοποιούνται αυτές οι ιδιότητες τίποτα απολύτως δεν μας εξασφαλίζει ότι θα πληρούν την αρχική εξίσωση , καθώς το πρόβλημα μας ζητά να βρούμε όλα τα ζεύγη των πραγματικών αριθμών α,β που επαληθεύουν την εξίσωση!

Θα παραθέσω μια λύση αρκετά προσιτή (κατά την γνώμη μου) στους μαθητές της Α' Λυκείου

Προφανώς αποκλείετε $\displaystyle a<0$ ,ενώ με $\displaystyle a=0$ παίρνουμε $\displaystyle b=0$
Τώρα $\displaystyle \forall a>0$ η εξίσωση ισοδυναμή με την $\displaystyle (a+\frac{1}{a})\cdot [(\frac{b^{2}}{a})^{2}-2\frac{b^{2}}{a}+2]=2\Leftrightarrow (a+\frac{1}{a})\cdot [(\frac{b^{2}}{a}-1)^{2}+1]=2$
Όμως πολύ εύκολα προκύπτει $\displaystyle a+\frac{1}{a}\geq 2$ και $\displaystyle (\frac{b^{2}}{a}-1)^{2}+1\geq 1$ οπότε $\displaystyle (a+\frac{1}{a})\cdot [(\frac{b^{2}}{a}-1)^{2}+1]\geq 2$ .Εμείς όμως θέλουμε να ισχύει η ισότητα που αυτό ισχύει αν και μόνο αν , $\displaystyle a=b^{2}=1$ άρα $(a,b)\in\{(1,1),(1,-1)\}$
άρα $\displaystyle (a,b)\in\{(1,1),(1,-1),(0,0)\}$

Ακόμη μια άλγεβρα..

Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Re: Ακόμη μια άλγεβρα..

Μέλη σε σύνδεση