ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Ιστοσελίδα · #1

Καλημέρα

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του . Αν η γωνία Β είναι διπλάσια της γωνίας Γ, να δείξετε ότι:

ΔΓ = ΒΔ + ΑΒ

#2

Εστω Ε σημείο στο τμήμα ΔΓ τέτοιο ώστε ΒΔ=ΔΕ.
Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές με τη γωνία ΑΕΒ ίση με ω.
Άρα και το ΑΕΓ είναι ισοσκελές με ΑΕ=ΕΓ.

Συνεπώς,

ΔΓ=ΔΕ+ΕΓ=ΒΔ+ΑΕ=ΒΔ+ΑΒ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

καλημέρα σας
παίρνουμε σημείο Ζ στη ΔΓ ώστε ΔΖ=ΔΒ
το τρίγωνο ΑΒΖ είναι ισοσκελές =>ΑΒ=ΑΖ και γων.ΑΖΒ=2ω
η γων.ΑΖΒ -εξωτερική του τρ. ΑΖΓ =>γων.ΖΑΓ=ω
άρα το τρ.ΑΖΓ-ισοσκελές =>ΑΖ=ΖΓ=>ΖΓ=ΑΒ

ΔΓ=ΔΖ+ΖΓ=>ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Ιστοσελίδα · #4

Φωτεινή – Αχιλλέα σας ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας με την απλή αυτή άσκηση. Έχω την άποψη ότι θα πρέπει η λέσχη να ασχολείται και με απλά θέματα κατάλληλα για τους μαθητές μας.

#5

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Φωτεινή – Αχιλλέα σας ευχαριστώ για την ενασχόλησή σας με την απλή αυτή άσκηση. Έχω την άποψη ότι θα πρέπει η λέσχη να ασχολείται και με απλά θέματα κατάλληλα για τους μαθητές μας.

Σπύρο , αυτές οι ασκήσεις είναι πολύτιμες για την τάξη. Μόνο με τέτοιες ασκήσεις διδάσκεις και γοητεύεις το μαθητή, ώστε να προχωρήσει μόνος του σε παρόμοια ή δυσκολότερα θέματα.
Όταν βρίσκεις τέτοιες ασκήσεις, να τις μοιράζεσαι μαζί μας, κάτι που ούτως ή άλλως κάνεις μέχρι τώρα.
Νάσαι καλά -

Μπάμπης

#6

Αγαπητοί φίλοι,
μόνο για να υπάρχει και μια ακόμη διαπραγμάτευση, της ωραίας άσκησης του φίλου Σπύρου και όχι για την απλότητά της, παραθέτω και την απόδειξη:

Φέρω τη διχοτόμο της γων.ΔΑΓ που τέμνει την ΒΓ στο Ε.
Επειδή γων.Γ=γων.ΒΑΔ=ω, επειδή γων. Β/2=γων.ΔΑΓ/2=γων.ΔΑΕ=ω και η ΑΔ κάθετη στην ΒΓ, το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές, οπότε: ΕΔ=ΔΒ. (1).
Ακόμη είναι: ΓΕ/ΕΔ=ΓΑ/ΑΔ. (2).
Από τα όμοια τρίγωνα ΔΑΓ, ΔΒΑ, παίρνουμε: ΓΑ/ΑΔ=ΑΒ/ΒΔ. (3).
Έτσι, από τις (2), (3), προκύπτει ότι: ΓΕ/ΕΔ= ΑΒ/ΒΔ. ή (ΓΕ+ΕΔ):ΕΔ=(ΑΒ+ΒΔ):ΒΔ. (4).
Επομένως, η (4) λόγο της (1), γίνεται: ΓΕ+ΕΔ=ΑΒ+ΒΔ=ΓΔ, ή ΑΒ+ΒΔ=ΓΔ.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής.

#7

Μια ακόμα γεωμετρική προσέγγιση στην άσκηση του Σπύρου.

: 03-09-2010 Geometry.png (22.26 KiB) Προβλήθηκε 1539 φορές

Προεκτείνουμε τη ΓΒ κατά ΒΕ = ΒΑ.

Τότε ΑΒΕ ισοσκελές με $\widehat A = \widehat E = \omega$ .

Οπότε ΑΕΓ ισοσκελές και αφού ΑΔ ύψος, είναι και διάμεσος,

άρα ΔΓ = ΔΕ = ΔΒ + ΒΕ = ΔΒ + ΑΕ.

Γιώργος Ρίζος

#8

Μια άλλη απόδειξη της άσκησης είναι:

Επειδή 2ω+ω=Β+Γ= $90^{0}$ ή ω= $30^{0}$ , οπότε Γ=ω= $30^{0}$ και Β=2ω= $60^{0}$ .
Έτσι, για το τρίγωνο αυτό είναι γνωστό και εύκολα αποδεικνύεται ότι, αν Ο είναι το μέσον της ΒΓ, τότε το τρίγωνο ΑΒΟ είναι ισόπλευρο και επειδή το Ο είναι περίκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ, θα είναι:
ΑΒ=ΒΟ=ΟΑ=ΟΓ ή ΑΒ=ΟΓ. (1).
Ακόμη, επειδή η ΑΔ είναι ύψος του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΟ, θα είναι:
ΒΔ=ΔΟ. (2).
Άρα, από τις (1), (2), παίρνουμε: ΑΒ+ΒΔ=ΔΟ+ΟΓ=ΔΓ ή ΑΒ+ΒΔ=ΔΓ.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#9

Η άσκηση του Σπύρου φαίνεται εύκολη αλλά κρύβει μια παγίδα!

Διερευνώντας τις δυνατές περιπτώσεις, βλέπουμε ότι 0° < ω < 60°.

Αν 0° < ω < 45°, το ύψος είναι στο εσωτερικό του τριγώνου και, όπως αποδείξαμε παραπάνω, ισχύει η πρόταση.

Αν ω = 45°, τότε το Δ ταυτίζεται με το Β και ΒΓ = ΑΒ, οπότε πάλι ισχύει η πρόταση.

: 04-09-2010 Geometry.png (7.56 KiB) Προβλήθηκε 1475 φορές

Αν 45° < ω < 60°, το ύψος ΑΔ είναι εξωτερικό του ΑΒΓ, με το Δ στην προέκταση της ΓΒ. Επίσης, 3ω > 135° άρα $\widehat A < 45^\circ \; \Rightarrow \;{\rm B}\Gamma < {\rm A}{\rm B}$ .

Τότε ΔΓ = ΒΓ + ΔΒ. Οπότε ΔΓ < ΑΒ + ΔΒ. Η πρόταση δεν ισχύει.

Γιώργος Ρίζος

#10

Αγαπητοί φίλοι,
από αβλεψία εξέλαβα το τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο στο Α. Έτσι, οι δύο παραπάνω αποδείξεις μου αναφέρονται εσφαλμένα, σε ορθογώνιο τρίγωνο. Ζητώ συγνώμη για την αβλεψία.
Ευχαριστώ πολύ τον φίλο Γιώργο Ρίζο που εντόπισε το σφάλμα και καλοπροαίρετα μου το έθεσε υπόψη.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#11

Και μία τριγωνομετρική, που δίνει την ερμηνεία της ισότητας:

Ουσιαστικά πρόκειται για άλλη μορφή της ταυτότητας $\frac{1}{\sin 2\omega}+\frac{1}{\tan 2\omega}= \frac{1}{\tan\omega}\,$ (η τελευταία είναι απλή αν γράψουμε $\tan 2\omega = \frac{2 \tan \omega}{1-\tan ^2 \omega}, \sin 2\omega = \frac{2 \tan \omega}{1+\tan ^2 \omega}$ ). Πολλαπλασιάσουμε τα μέλη της επί ΑΔ και το ζητούμενο είναι άμεσο καθώς $AB = \frac{AD}{\sin 2\omega}, BD=\frac{AD}{\tan 2\omega}, \Gamma D= \frac{AD}{\tan\omega}\,$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#12

Πατώντας στο σκαλοπάτι που προσέφερε ο Μιχάλης στην παραπάνω δημοσίευση,
διατυπώνω την εκφώνηση του θέματος:

α) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του . Αν η γωνία Β είναι διπλάσια της γωνίας Γ, να δείξετε ότι: ΔΓ = ΔΒ + ΑΒ

β) Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( $\displaystyle \widehat{\rm B} > 90^\circ$ ) και ΑΔ το ύψος του . Αν η γωνία Β είναι διπλάσια της γωνίας Γ, να δείξετε ότι: ΑΒ = ΔΒ + ΔΓ
(Η περίπτωση ορθογωνίου είναι τετριμμένη).

Δίνω την τριγωνομετρική απόδειξη του ερωτήματος (β) και περιμένουμε τις γεωμετρικές λύσεις.

: 04-09-2010 Geometry.png (7.56 KiB) Προβλήθηκε 1367 φορές

$\displaystyle \begin{array}{l} \eta \mu 2\omega = \eta \mu \left( {180^\circ - 2\omega } \right) = \frac{{{\rm A}\Delta }}{{{\rm A}{\rm B}}}\; \Rightarrow \;{\rm A}{\rm B} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{{\eta \mu 2\omega }} \\ \varepsilon \phi 2\omega = - \varepsilon \phi \left( {180^\circ - 2\omega } \right) = \frac{{{\rm A}\Delta }}{{\Delta {\rm B}}} \Rightarrow \;\Delta {\rm B} = - \frac{{{\rm A}\Delta }}{{\varepsilon \phi 2\omega }} \\ \varepsilon \phi \omega = \frac{{{\rm A}\Delta }}{{\Delta \Gamma }} \Rightarrow \;\Delta \Gamma = \frac{{{\rm A}\Delta }}{{\varepsilon \phi \omega }} \\ \end{array}$

Οπότε:
$\displaystyle \begin{array}{l} \Delta \Gamma + \Delta {\rm B} = {\rm A}\Delta \left( {\frac{1}{{\varepsilon \phi \omega }} - \frac{1}{{\varepsilon \phi 2\omega }}} \right) = {\rm A}\Delta \left( {\frac{2}{{2\varepsilon \phi \omega }} - \frac{{1 - \varepsilon \phi ^2 \omega }}{{2\varepsilon \phi \omega }}} \right) = \\ = {\rm A}\Delta \left( {\frac{{1 + \varepsilon \phi ^2 \omega }}{{2\varepsilon \phi \omega }}} \right) = \frac{{{\rm A}\Delta }}{{\eta \mu 2\omega }} = {\rm A}{\rm B} \\ \end{array}$

Γιώργος Ρίζος

Ιστοσελίδα · #13

: rizos.jpg (92.44 KiB) Προβλήθηκε 1326 φορές

ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Re: ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Re: ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Re: ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Re: ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Re: ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Re: ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Re: ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Re: ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Re: ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Re: ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Re: ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Re: ΔΓ=ΒΔ+ΑΒ

Μέλη σε σύνδεση