Aνισότητα Bernoulli

#1

Mιας και αναφέρθηκε σε προηγούμενο μήνυμα απο το Ν.Μαυρογιάννη, θεώρησα σωστό να τη δούμε λιγάκι...
Να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του R , στο οποίο ισχύει η ανισότητα του Bernoulli.
$\displaystyle{\displaystyle \left( {1 + x} \right)^\nu \geqslant 1 + \nu x,\nu \in \mathbb{N},\nu > 1. }$

#2

Νομίζω ισχύει αν και μόνο αν $x \geqslant -2$ .

Για $x \geqslant -1$ , είναι η γνωστή επαγωγική απόδειξη.

Για $-2 \leqslant x \leqslant -1$ , η απόλυτη τιμή του αριστερού μέλους είναι το πολύ 1, ενώ το δεξί μέλος είναι μικρότερο του -1 (για ν > 2)

Για x < -2

και ν αρκετά μεγάλος περιττός, η ανισότητα δεν ισχύει. (Κάνοντας τις αντικαταστάσεις y = -1-x > 1

και

, θέλουμε να βρούμε ακέραιο κ ώστε $z(z^{2k} - (2k+1)) > 2k$ . Αρκεί να πάρουμε

αρκετά μεγάλο ώστε $z^{2k} > 4k + 1$ . Τέτοιο κ υπάρχει διότι η συνάρτηση $2x/(\log{(4x)} + 1)$ τείνει στο άπειρο όταν το χ τείνει στο άπειρο.)

Aνισότητα Bernoulli

Aνισότητα Bernoulli

Re: Aνισότητα Bernoulli

Μέλη σε σύνδεση