Ανισότητα

MoV · #1

Έστω συνάρτηση

διπλά παραγωγίσιμη στο [a,b]

τέτοια ώστε : $m \leq f''(x) \quad \forall x \in [a,b]$ .
Να αποδειχθεί ότι : $f(x) \leq f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+\frac{|m|}{2}(x-a)(b-x) \quad \forall x \in [a,b]$ .

#2

θέτω $\displaystyle{g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-\frac{|m|}{2}(x-a)(x-b))}$
Τότ ε $\displaystyle{g''=f''+|m|>f''-m>0}$ και επειδή $\displaystyle{g(a)=g(b)=0}$ η κυρτή g θα είναι κάτω από την χορδή ΑΒ που έχει εξίσωση ψ=0 οπότε $\displaystyle{g(x)<0}$ (αλλιως με Rolle και πίνκα μονοτονίας)

MoV · #3

Πολύ ωραία . Από την λύση σας μάλιστα προκύπτει ένα καλύτερο φράγμα , αντικαθιστώντας το |m|

με

.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση