Πάλι τρίγωνο και γωνίες !

#1

Δεν θυμάμαι αν αυτή την άσκηση την έχουμε ξαναβάλει, μια και από ένα σημείο και μετά όλες αυτές μοιάζουν μεταξύ τους. Τη δίνω με κάθε επιφύλλαξη.

ΑΣΚΗΣΗ

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με τη γωνία Γ ίση με 15 μοίρες φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ . Αν η γωνία ΑΜΒ είναι ίση με 45 μοίρες , να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου.

Μπάμπης

chris · #2

Ας παμε τριγωνομετρικά μιάς και βοηθούν και οι γωνίες

Απο τον νόμο των ημιτόνων έχουμε:

$\displaystyle \begin{Bmatrix} \left[\triangle{AMB} \right]: \frac{AM}{sinB}=\frac{MB}{sin\hat{BAM}} \\ \left[\triangle{AMC} \right]: \frac{AM}{sin15^o}=\frac{MC}{sin30^o} \\ \end{Bmatrix}$

Αν $\angle{B}=x$ τότε με βάση τις παραπάνω σχέσεις έχουμε:

$\displaystyle sinx\cdot sin30^o=sin(135^o-x)\cdot sin15^o\Rightarrow sinx=2sin(135^o-x)\cdot sin15^o=cos(120-x)-cos(150-x)=\left(\frac{-cosx}{2}+\frac{\sqrt{3}sinx}{2} \right)-\left(\frac{-\sqrt{3}cosx}{2}+\frac{sinx}{2} \right)\Rightarrow (3-\sqrt{3})sinx=(\sqrt{3}-1)cosx\Rightarrow tanx=\frac{\sqrt{3}-1}{3-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow x=30^o$

Συνεπώς A=135^o,B=30^o,C=15^o

Φιλικά,

Χρήστος

#3

Μία γεωμετρική λύση (περιληπτικά)
Αν Δ είναι το συμμετρικό του Α ως προς Μ και Ε η προβολή του Δ στην ΑΓ, το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισόπλευρο, το ΕΜΓ ισοσκελές και το ΕΔΓ ισοσκελές και ορθογώνιο. Επομένως γων.ΕΓΔ=45, δηλαδή Β=ΜΓΔ=30.

Ιστοσελίδα · #4

Καλησπέρα.
Μια Γεωμετρική αντιμετώπιση.

• Με πλευρά ΒΓ κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ΔΒΓ.
• Λόγω της μεσοκαθέτου – διχοτόμου ΔΜ έχουμε ${\rm M}\widehat \Delta \Gamma = {30^ \circ }$ και $\Delta \widehat {\rm M}{\rm A} = \Delta \widehat \Gamma {\rm A} = {45^ \circ }$ .
• Το τετράπλευρο ΔΑΜΓ είναι εγγράψιμο ( $\Delta \widehat {\rm M}{\rm A} = \Delta \widehat \Gamma {\rm A} = {45^ \circ }$ ), άρα ${\rm M}\widehat \Delta {\rm A} = {\rm M}\widehat \Gamma {\rm A} = {15^ \circ }$ .
• ${\rm B}\widehat \Delta {\rm A} = {60^ \circ } - ({30^ \circ } + {15^ \circ }) = {15^ \circ }$ , οπότε το Α είναι το έγκεντρο του τριγώνου ΔΒΜ (ΔΑ, ΜΑ διχοτόμοι των ${\rm B}\widehat \Delta {\rm M},\,\Delta \widehat {\rm M}{\rm B}$ αντίστοιχα).
• $\Gamma \widehat {\rm B}{\rm A} = \displaystyle\frac{{{{60}^ \circ }}}{2} = {30^ \circ }$ και ${\rm B}\widehat {\rm A}\Gamma = {180^ \circ } - {45^ \circ } = {135^ \circ }$ .

: γωνίες.jpg (46.49 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές

#5

Μπορεί και να την έχουμε ξαναδεί, μπορεί να έχουμε δώσει τις ίδιες απαντήσεις. Μπορεί όμως και όχι! Για χάρη του πλουραλισμού μια διαφορετική λύση.

: 15-09-2010 Geometry.png (11.13 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο Μ(0, 0) παίρνουμε τα σημεία Β(1, 0) και Γ(-1, 0).
Το Α προσδιορίζεται ως το σημείο τομής των ημιευθειών Γt και Μz με εξισώσεις αντίστοιχα: $\displaystyle y = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {x + 1} \right)$ (αφού $\displaystyle \varepsilon \phi \widehat{\left( {{\rm M}\Gamma {\rm A}} \right)} = \varepsilon \phi 15^\circ = 2 - \sqrt 3$ ) και $\displaystyle y = x$ , αφού $\displaystyle \varepsilon \phi \widehat{\left( {B{\rm M}{\rm A}} \right)} = \varepsilon \phi 45^\circ = 1$ .

Από τη λύση του συστήματος είναι: $\displaystyle A\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2},\;\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)$

Φέρνουμε το ύψος ΑΚ στο ΑΒΓ.
Τότε στο ορθογώνιο ΚΒΑ είναι: $\displaystyle \varepsilon \phi {\rm B} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}}}{{1 - \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{3 - \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ άρα $\displaystyle \widehat{\rm B} = 30^\circ \; \Rightarrow \;\widehat{\rm A} = 180^\circ - \left( {15^\circ + 30^\circ } \right) = 135^\circ$

Γιώργος Ρίζος

#6

Και αφού έχουν ήδη παρουσαστεί τόσο ωραίες λύσεις, για να εμπλουτίζουμε το θέμα ας βάλω περιληπτικά μια ακόμα προσέγγιση :

Αν Ε είναι το συμμετρικό του Γ ως προς την ευθεία ΑΜ , τότε :

α) Το τρίγωνο ΕΑΓ είναι ισόπλευρο,

β) Η ΜΕ είναι κάθετη στην ΒΓ,

γ) Το τρίγωνο ΕΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ,

δ) ΕΒ=ΕΓ=ΕΑ , οπότε το τρίγωνο ΕΑΒ είναι ισοσκελές με κορυφή Ε.

ε) Η γωνία ΑΕΒ είναι ίση με 90-60 = 30 μοίρες, οπότε η γωνία ΑΒΕ είναι 75 μοίρες.

στ) Η γωνία ΑΒΓ είναι ίση με 75 - 45 = 30 μοίρες.

Μπάμπης

p_gianno · #7

Άλλη μια προσέγγιση

Πάλι τρίγωνο και γωνίες !

Πάλι τρίγωνο και γωνίες !

Re: Πάλι τρίγωνο και γωνίες !

Re: Πάλι τρίγωνο και γωνίες !

Re: Πάλι τρίγωνο και γωνίες !

Re: Πάλι τρίγωνο και γωνίες !

Re: Πάλι τρίγωνο και γωνίες !

Re: Πάλι τρίγωνο και γωνίες !

Μέλη σε σύνδεση