Πού είναι το λάθος?

dimgiann · #1

Ενα ενδιαφέρον θέμα από το περιοδικό του ΤΕΙ Ηρακλείου Θεαίτητος τεύχος 2-3 (1990) σελ.389
Έστω μία συνάρτηση $f:(0,+\infty) \rightarrow R$ με συνεχή παράγωγο.
Αν $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=0$ , δείξτε ότι $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f^{\prime}(x) =0$
Απόδειξη: Για κάθε x>0, με ΘΜΤ στο [x, x+1] υπάρχει $\xi \in (x,x+1)$ τέτοιο ώστε $f^{\prime}(\xi)=f(x+1)-f(x)$ Τότε όμως με όρια έχουμε $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( f(x+1)-f(x)\right) = 0$ και καθώς $x \rightarrow +\infty$ και ${\xi \to +\infty}$ λόγω της συνέχειας της f ' είναι $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f^{\prime}(x)=0$
Όμως για την συνάρτηση $f(x)= \frac{\sin{x^2}}{x}$ ισχύουν οι συνθήκες της υπόθεσης αλλά όχι το συμπέρασμα αφού το $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f^{\prime}(x)$ δεν υπάρχει.
Που είναι το λάθος?
Δημήτρης Γιαννόπουλος

#2

Το μόνο που δείχνει η απόδειξη, είναι την ύπαρξη $\xi_x$ για κάθε χ, ώστε $\xi_x \to \infty$ και $f^{\prime}(\xi_x) \to \infty$ όταν $x \to \infty$ .

Αυτό όμως δεν σημαίνει πως $f^{\prime}(\xi) \to \infty$ όταν $\xi \to \infty$ .

k-ser · #3

... Εντάξει! να δεχθώ ότι το $\xi \rightarrow +\infty$ μα... η συνέχεια της $f^{\prime}$ στο $+\infty$ ορίζεται στο διάστημα
[περίεργα , ακατανόητα] και σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών ή το Darbux
παίρνει την τιμή λάθος!

dimgiann · #4

Το πρόβλημα αυτό όπως και κάποια άλλα υπάρχουν στο περιοδικό αυτό χωρίς απάντηση. Υπάρχει έτσι όπως το διατύπωσα και απευθύνονταν σε καλούς μαθητές της τότε Α' Δέσμης. Νομίζω και εγώ οτι το λάθος βρίσκεται στο ότι η ύπαρξη των ξ=ξ(x) για κάθε x, για τα οποία f ' (ξ)=0 μαζί με τη συνέχεια και το ότι $\xi \rightarrow +\infty$ δεν εξασφαλίζει ότι $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f^{\prime}(x)=0$
Ευχαριστώ
Δημήτρης Γ.

Πού είναι το λάθος?

Πού είναι το λάθος?

Re: Πού είναι το λάθος?

Re: Πού είναι το λάθος?

Re: Πού είναι το λάθος?

Μέλη σε σύνδεση