Άθροισμα - Δ1.41

#1

Αν $n\in\mathbb{N}$ , να υπολογιστεί το (πεπερασμένο) άθροισμα $\binom{n}{0}+\binom{n}{6}+\binom{n}{12}+\ldots$ .

#2

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Αν $n\in\mathbb{N}$ , να υπολογιστεί το (πεπερασμένο) άθροισμα $\binom{n}{0}+\binom{n}{6}+\binom{n}{12}+\ldots$ .

Μία γενική μέθοδος για εύρεση "ελλειπών" αθροισμάτων είναι (για την συγκεκριμένη περίπτωση), η εξής:

Ισχύει
$(1 + x)^n = \binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\ldots+\binom{n}{n}x^n$

Βάζουμε τώρα διαδοχικά στη θέση του x τα $x, \ \omega x, \ \omega ^2 x$
όπου ω κυβική ρίζα της μονάδας, και προσέτουμε κατά μέλη. Οι περισσότεροι όροι θα μηδενιστούν λόγω της ταυτότητας $1 + \omega + \omega ^2 = 0$ . Θα μείνουν μόνο οι συντελεστές του x^k

όπου k πολλαπλάσιο του 3, διότι $\omega ^ 3 = 1$ .

Θα προκύψει

$3( \binom{n}{0}+\binom{n}{3}x+\binom{n}{6}x^6+\ldots )= (1+x)^n + (1+\omega x)^n + (1+\omega ^2 x)^n$

Tέλος βάζουμε x = +1, x = -1 και προσθέτουμε. Αν κάνω καλά τις πράξεις, η απάντηση είναι
$( 2^n + (1+\omega)^n + (1+\omega ^2)^n + (1-\omega)^n + (1-\omega ^2)^n)/6$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

Έχουμε

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty} \binom{n}{6k} = \frac{1}{6} \sum_{r=0}^5 (1 + e^{\pi ir/3})^n = \frac{1}{6} \left(2^n + 2Re\left(1 + e^{\pi i/3} \right)^n + 2Re\left(1 + e^{2\pi i/3} \right)^n \right) \\ = \frac{1}{6}\left(2^n + 2Re\left(\sqrt{3} e^{\pi i/6} \right)^n + 2Re\left(e^{\pi i/3} \right)^n \right) \\= \frac{1}{6}\left(2^n + 2(\sqrt{3})^n \cos(n \pi /6) + 2 \cos(n \pi/3) \right)$

(Με πρόλαβε ο κος Λάμπρου, αλλά το αφήνω. Ελπίζω να μην έκανα λάθος στις πράξεις.)

Άθροισμα - Δ1.41

Άθροισμα - Δ1.41

Re: Άθροισμα

Re: Άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση