Ανισότητα σε Κώνο

chris · #1

Μία σχετικά απλή και όμορφη.....

Αν

είναι ο όγκος και

το εμβαδό της κυρτής-παράπλευρης επιφάνειας ενός ορθού κώνου τότε να δείξετε οτι:

$\displaystyle \left(\frac{6V}{\pi } \right)^2\leq \left(\frac{2S}{\pi \sqrt{3}} \right)^3$

Πότε ισχύει η ισότητα?

#2

Έχουμε $\displaystyle{S=\pi r l}$ και $\displaystyle{V=\frac{\pi r^2 h}{3},}$ όπου r,l,h

η ακτίνα της βάσης, η γενέτειρα και το ύψος του κώνου αντίστοιχα.

Tότε, η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται, μετά τις αντικαταστάσεις και επειδή από το πυθαγόρειο θεώρημα είναι $\displaystyle{h^2 =l^2 -r^2,}$

$\displaystyle{2l^3 +3\sqrt{3}r^3 \geq 3\sqrt{3}rl^2.}$

Όμως, από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι

$\displaystyle{2l^3 +3\sqrt{3}r^3 =l^3 +l^3 +(\sqrt{3}r)^3 \geq 3\sqrt[3]{l^3 \cdot l^3 \cdot (\sqrt{3}r)^3}=3\sqrt{3}rl^2.}$

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν είναι $\displaystyle{l=\sqrt{3}r}$

Ανισότητα σε Κώνο

Ανισότητα σε Κώνο

Re: Ανισότητα σε Κώνο

Μέλη σε σύνδεση