εικόνα να ανήκει

mathxl · #1

Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών που ικανοποιούν την σχέση $\displaystyle{\left| {z - 1 - i} \right| = {z^2} - 2z + 2i - 2iz,z \ne 1 + i}$
ανήκουν σε κύκλο

Δική μου κατασκευή αφιερωμένη στον Θωμά

Καληνύχτα σας!

Ανδρέας Πούλος · #2

Εγώ βρήκα ότι οι μοναδικοί αριθμοί που ικανοποιούν την σχέση αυτή (εκτός του z = 1 + i που είναι περιορισμός),
είναι οι z = i και ο z = 2 + i.
Έκανα πάλι τις πράξεις και δεν βρήκα κάποιο λάθος.
Αν δεν έχω κάνει λάθος ή κάποια βασική παράληψη, το ερώτημα είναι προφανές. Δύο σημεία είναι πάντα σε έναν κύκλο.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Δημήτρης Μυρογιάννης · #3

Kαι εγω εχω την αισθηση οτι κατι δε παει καλα με την ασκηση....

Δημήτρης Μυρογιάννης · #4

To δευτερο μελος οφειλει οπως και το πρωτο να ειναι θετικος πραγματικος.....Αν το απαιτησουμε αυτο, μας οδηγει στο z=1+i.

tkmath · #5

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Εγώ βρήκα ότι οι μοναδικοί αριθμοί που ικανοποιούν την σχέση αυτή (εκτός του z = 1 + i που είναι περιορισμός),
είναι οι z = i και ο z = 2 + i.
Έκανα πάλι τις πράξεις και δεν βρήκα κάποιο λάθος.
Αν δεν έχω κάνει λάθος ή κάποια βασική παράληψη, το ερώτημα είναι προφανές. Δύο σημεία είναι πάντα σε έναν κύκλο.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

και εγώ τα ίδια αποτελέσματα βρίσκω.

hsiodos · #6

Έχει δίκιο ο Ανδρέας.
Πιστεύω πως η λογική του Βασίλη είναι η εξής:

Η δοσμένη σχέση γράφεται: $\displaystyle{ \left| {\,z - 1 - i\,} \right| = (z - 1 - i)^2 \,\,\,(1)\,\,\,}$ . Παίρνοντας μέτρα στην (1) και επειδή $\displaystyle{ z - 1 - i \ne 0\,}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{ \,\left| {\,z - 1 - i\,} \right| = 1\,}$ . Τώρα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εικόνα του μιγαδικού z βρίσκεται στον κύκλο με κέντρο Κ(1,1) και ακτίνα ρ=1.

Βέβαια αν θέσουμε $\displaystyle{w = z - 1 - i\,\,}$ η (1) είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{\,\left| {\,w\,} \right| = w^2 \,}$ , $\displaystyle{ w \ne 0\,\,}$ , που λύνεται εύκολα και δίνει $\displaystyle{ w = 1\,\,\,\,\,\,\eta \,\,\,\,w = - 1\,\,\,\,o\pi o\tau \varepsilon \,\,\,z = 2 + i\,\,\,\,\,\eta \,\,\,\,\,z = i\,}$ . (οι εικόνες τους είναι αντιδιαμετρικά σημεία του παραπάνω κύκλου.)

Γιώργος

mathxl · #7

Nαι Γιώργο, απότι φάνηκε ήταν μια πρόχειρη κατασκευή. Δεν εξασφάλισα τουλάχιστον τρεις οομοκυκλικές ρίζες.
Την πονηριά που ήθελα πάντως την βρήκες

Σας ευχαριστώ για τον χρόνο σας.
Καλημέρα

εικόνα να ανήκει

εικόνα να ανήκει

Re: εικόνα να ανήκει

Re: εικόνα να ανήκει

Re: εικόνα να ανήκει

Re: εικόνα να ανήκει

Re: εικόνα να ανήκει

Re: εικόνα να ανήκει

Μέλη σε σύνδεση