Χρόνια Πολλά και καλά στους φίλους Κώστα Δόρτσιο, Κώστα Βήττα και Κώστα Ρεκούμη με τις πάντα ωραιότατες λύσεις τους στα θέματα του ιστότοπού μας.

Ελπίζω να βοήθησα. . 'Οχι, δεν βοήθησες. Η ερώτησή μου είναι, για παράδειγμα, τι εννοείς με το σύμβολο $ \dfrac {A}{B} $ όταν τα $A,\, B$ είναι διανύσματα (εδώ $B=x+T_2$ , όπου $T_2$ είναι μία στήλη με εννέα αριθμούς.) Σε ρώτησα ποιο είναι το βιβλίο που χρησιμοποιείς γιατι τέτοιον συμβολισμό δεν έχ...

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ και έστω $\Delta=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x<y\}$ Να εξεταστεί αν υπάρχει συνάρτηση ${\color{blue}m}\colon \Delta\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε για κάθε $a,b\in\mathbb{R}$ με $a<b$ και $\xi={\color{blue}m}(a,b)$ να ισχύουν: #1. $a<\xi<b$ #2. ...

Προσπαθώ να βοηθήσω, αλλά πρώτα πρέπει να καταλάβω τον συμβολισμό σου: Τι ακριβώς εννοείς με το ; Επίσης, τι εννοείς με το στον παρονομαστή;

Οι συμβολισμοί που χρησιμοποιείς είναι αυτοί που διδάχθηκες σε κάποιο μάθημα; Ποιο βιβλίο χρησιμοποιείς;

Δίνονται οποιοιδήποτε θετικοί ρητοί αριθμοί ${\color{blue}a},{\color{blue}b}$ Να βρεθεί ένα μη μηδενικό πολυώνυμο $P(x)$ με ρητούς συντελεστές που να έχει ρίζα τον αριθμό ${\color{red}\rho}$ για τον οποίο ισχύει ${\color{red}\rho}=\sqrt[3]{\color{blue}a}+\sqrt[3]{\color{blue}b}$ Σημείωση #1 Το πρόβ...

Νικόλα, έχω εντυπωσιαστεί σε ΥΠΕΡΘΕΤΙΚΟ βαθμό με τις γνώσεις σου (για όποιον δεν το παρατήρησε, ο Νικόλας είναι 13 χρονών). Στην συγκεκριμένη λύση πρέπει να υπάρχει λογιστικό σφάλμα. Ελπίζω να διορθώνεται ή να κάνω εγώ λάθος στο παρακάτω σχόλιό μου. Δες για παράδειγμα το Γνωρίζουμε ότι τα $ a_j $ έχ...

Έστω $\beta$ η συνάρτηση βήτα του Dirichlet . Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \beta(n) \right )= \frac{\ln 2}{2}}$ . Εξ ορισμού $\displaystyle{\beta (n) = 1+ \sum _{k=1} ^{\infty} \dfrac {(-1)^k}{(2k+1)^n} }$ άρα $\displaystyle{1- \beta (n) = \sum _{k=1} ^{\infty} \df...

Έστω $\psi^{(2)}$ η πολυγάμμα συνάρτησης τάξης $3$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} 4^n \psi^{(2)} \left ( 2^n \right ) = -1}$. Απλούστερα και γενικότερα, στην παραπομπή που δίνεις στο σημείο που λέει Recurrence relation, γράφει ότι για $m\ge 1$ έχουμε $\displaystyle{\df...

Βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο αριθμό που αν διαιρεθεί με τα κλάσματα $\displaystyle \frac{28}{297}$ και $\displaystyle \frac{35}{396}$ αντίστοιχα το αποτέλεσμα είναι ακέραιοι . Αν $A$ ο ζητούμενος, θέλουμε να είναι ακέραιοι οι $ \dfrac{297A} {28} = \dfrac{3^3\cdot 11\cdot A} {2^2\cdot 7} $ κα...

Η συγκεκριμένη (βασική) άσκηση βρίσκεται και στο Κεφάλαιο 1 του βιβλίου Ολοκληρωτικές Εξισώσεις του κυρίου Ντούγια, εκδ. Συμμετρία. Όχι μόνο. Η εύρεση των συναρτήσεων με $f'(x)=f(x)$ για κάθε $x$ βρίσκεται σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία Απειροστικού Λογισμού και επίσης όλα τα βιβλία Διαφορικών Εξισώσ...

Ένα ωραίο θέμα που λύνεται με αρκετούς τρόπους! Βρείτε με οποιονδήποτε τρόπο τη συνάρτηση που ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις για $x \geq 0$: $f'(x)=f(x) \; \; \; \; (1)$ $f(0)=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)$ Να θεωρήσετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και ολοκληρώσιμη στο $\math...

Έστω $\displaystyle f(x) = {e^x} - ex,\,\,\,x \in R$ Δείξετε ότι $\displaystyle f(1 + x) > f(1 - x)$ , για κάθε $\displaystyle x > 0$ . Από την $a+a^{-1} > 2$ για $a>0$, έχουμε $e^x+e^{-x} >2$ για $x>0$. Ολοκληρώνουμε τώρα από $0$ έως $X>0$. Θα βρούμε $e^X-e^{-X} >2X$, που ισοδυναμεί με την ζητούμε...

Ωραία άσκηση για έναν πρωτάρη μαθητή, αλλά δεν βλέπω τι σχέση έχει με Διασκεδαστικά Μαθηματικά.

Είναι άμεσο ότι το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με το τετράγωνο πλευράς μείον δύο τεταρτοκύκλια ακτίνας . Δίνει

Θα βρείτε μερικούς ωραίους γρίφους εδώ . Ο συγγραφέας, ο Carlo de Grandi, είναι μεταξύ άλλων δεινός κατασκευαστής προβλημάτων σκακιού. Για όσους τυχαίνει να μην τον γνωρίζουν, αντιγράφω ένα σύντομο βιογραφικό του από το 24grammata.com Ο Carlo de Grandi γεννήθηκε στη Βενετία το 1948. Σπούδασε πληροφο...

Ευχαριστούμε. Είναι ωραίο και καλογραμμένο άρθρο και σίγουρα χρήσιμο σε κάποιον ο οποίος πρωτογνωρίζει την Θεωρία Μέτρου, το οποίο είναι μάθημα που διδάσκεται στα μεγάλα εξάμηνα ενός πτυχίου Μαθηματικών. Ας κάνω δύο σχόλια. α) Η κατασκευή που δίνει υπάρχει σε όλα ανεξαιρέτως τα βιβλία Θεωρίας Μέτρου...

Επισυνάπτω ένα άρθρο του αρχαιολόγου-νομισματολόγου Γιάννη Στόγια όπου αναφέρεται στον Βυζαντινό Μαθηματικό Νικόλαο Αρτάβασδο ή Ραβδά (14ος αι.) σχετικά με ένα πρόβλημα μείξης της Αριθμητικής. Το πρόβλημα είναι η παλαιότερη πηγή που γνωρίζω για προβλήματα μείξης. Το ίδιο το άρθρο αφορά Νομισματολογί...

Νομίζω ότι η λύση στο πρόηγούμενο ποστ είναι προβληματική γιατί η άσκηση αναφέρεται σε Η συνάρτηση του σχήματος είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή στο $[1,3]$ ενώ στην λύση εξειδικεύεται στην συγκεκριμένη συνάρτηση iii. $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{2}, ~ x \in\mathbb{R}^+$ Από την άλλη, η λύση εμπε...

Ε Υ Γ Ε στα παιδιά.

Τα θέματα είναι πολύ δύσκολα, οπότε η εξαιρετική μαθηματική δεινότητα των παιδιών είναι πρόδηλη. Ότι και να πω είναι λίγο. ΕΥΓΕ, ΕΥΓΕ, ΕΥΓΕ.

Σπύρο, ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ.

Το βιβλίο το περίμενα με πολύ χαρά από τότε που το έγραφες καθώς μου είχες δείξει την τότε μορφή του. Με την ολοκλήρωσή του έχουμει σήμερα στα χέρια μας ένα πλούσιο και εμβριθέσταρο έργο. Να 'σαι καλά.

edit: Μάλλον θα εννοείτε την γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες των καμπυλών στο σημείο. Αν είναι έτσι είναι άσκηση ρουτίνας. Ναι, αυτός είναι ο ορισμός την γωνίας δύο τεμνόμενων λείων καμπυλών. Για την ιστορία, στα Στοιχεία του Ευκλείδη υπάρχει η έννοια των "μεικτόγραμμων γωνιών". Ειδικά όταν η ...