Ορισμός πεπερασμένης ομάδας

#1

Έστω $(G,\cdot)$ μη κενό πεπερασμένο σύνολο εφοδιασμένο με την πράξη $\cdot$ έτσι ώστε να ισχύουν:

$\forall a,b,c\in G, \ \;a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

$a\cdot b=a\cdot c\Longrightarrow b=c$

$b\cdot a=c\cdot a\Longrightarrow b=c$

Δείξτε ότι αποτελεί ομάδα.

#2

socrates έγραψε:Έστω $(G,\cdot)$ μη κενό πεπερασμένο σύνολο εφοδιασμένο με την πράξη $\cdot$ έτσι ώστε να ισχύουν:

$\forall a,b,c\in G, \ \;a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

$a\cdot b=a\cdot c\Longrightarrow b=c$

$b\cdot a=c\cdot a\Longrightarrow b=c$ (*)

Δείξτε ότι αποτελεί ομάδα.

Ισχύει το εξής λήμμα

Αν η πράξη $\displaystyle{\cdot}$ είναι προσεταιριστική σε ένα σύνολο $\displaystyle{G}$ και οι εξισώσεις $\displaystyle{a\cdot x=b}$ και $\displaystyle{b \cdot x=a}$

έχουν λύση για κάθε $\displaystyle{a,b \in G}$ , τότε το $\displaystyle{(G,\cdot)}$ είναι ομάδα.

Έχουμε $\displaystyle{G=\{a_1,a_2,...,a_n\},a_i \neq a_i}$ , αν $\displaystyle{i \neq j}$ .

Έστω $\displaystyle{a,b \in G}$ . Τα στοιχεία $\displaystyle{a\cdot a_1,a\cdot a_2,...,a \cdot a_n}$ , λόγω της (*) είναι διαφορετικά μεταξύ τους,

άρα $\displaystyle{\{a\cdot a_1,a\cdot a_2,...,a \cdot a_n\}=G}$ , συνεπώς υπάρχει $\displaystyle{i \in \{1,2,...,n\}}$ ώστε $\displaystyle{a \cdot a_i=b}$ ,

άρα η εξίσωση $\displaystyle{a\cdot x=b}$ έχει λύση στο $\displaystyle{G}$ .

Ομοίως αποδεικνύεται ότι και η εξίσωση $\displaystyle{b \cdot x=a}$ έχι λύση στο $\displaystyle{G}$ , άρα το ζητούμενο αποδείχθηκε.

#3

Βλέπω το είδαμε κι παλαιότερα, εδώ viewtopic.php?p=106686#p106686.

Ένα παρόμοιο, ενδιαφέρον:

Έστω $(M,\cdot)$ μονοειδές τέτοιο ώστε οι συναρτήσεις $t_a,t_a^{\prime}: M \to M, t_a(x)=a \cdot x$ , $t_a^{\prime}(x)=x \cdot a$ να είναι 1-1, για κάθε $a \in M$ .
α) Δώστε παράδειγμα τέτοιου μονοειδούς που δεν είναι ομάδα.
β) Αν επιπλέον το μονοειδές είναι πεπερασμένο, τότε είναι ομάδα.

Από εδώ: http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=48&t=2356&start=0

#4

Ένα τέτοιο μονοειδές που δεν είναι ομάδα είναι το σύνολο $\displaystyle{\Bbb{Z}^*}$ με την πράξη του πολλαπλασιασμού.

Η απόδειξη του ότι αν το μονοειδές είναι πεπερασμένο τότε είναι ομάδα είναι σχεδόν ίδια με τις προηγούμενες.

Ορισμός πεπερασμένης ομάδας

Ορισμός πεπερασμένης ομάδας

Re: Ορισμός πεπερασμένης ομάδας

Re: Ορισμός πεπερασμένης ομάδας

Re: Ορισμός πεπερασμένης ομάδας

Μέλη σε σύνδεση