Πολυώνυμο 6ου βαθμού

#1

Να εξεταστεί η αναγωγιμότητα του πολυωνύμου

[Να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυμο]

$8t^{6}+4t^{5}+10t^{4}+5t^{3}+10t^{2}+4t+8$

στο σώμα των πραγματικών αριθμών.

[Το θέτω εδώ επειδή η απάντηση δεν έχει πλέον σχέση με την πηγή ... καθώς είναι/ήταν προφανές ότι δεν υπάρχουν θετικές πραγματικές ρίζες (και λίγο λιγότερο προφανές ότι δεν υπάρχουν ούτε αρνητικές πραγματικές ρίζες).]

Γιώργος Μπαλόγλου

#2

Καλημέρα σας!
Για να αποδείξουμε ότι το παραπάνω πολυώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Sturm.

Περιγράφω με λίγα λόγια το Θεώρημα.

Έστω $f(x)\in\mathbb{R}[t]$ με βαθμό $\geq1$ και η παράγωγος του. Εκτελούμε τη διαίρεση του δια του και έστω το υπόλοιπο.
Στη συνέχεια εκτελούμε τη διαίρεση του δια το και παίρνουμε το υπόλοιπο πάλι με το αντίθετο πρόσημο. Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο (όπως στο μ.κ.δ), έχουμε

$f(t)=q_1(t)f{'}(t)-f_2(t) f{'}(t)=q_2(t)f_2(t)-f_3(t) ............................... f_{m-2}(t)=q_{m-1}(t)f_{m-1}(t)-f_{m}(t).$

Η ακολουθία $f(t), f_1(t)=f{'}(t), f_2(t),\ldots,f_m(t)$ , ονομάζεται ακολουθία του Sturm.

Για ένα πραγματικό αριθμό $\alpha$ , η ακολουθία $f(\alpha), f_1(\alpha)=f{'}(\alpha), f_2(\alpha),\ldots,f_m(\alpha)$ , παρουσιάζει ένα πλήθος αλλαγών προσήμου το οποίο συμβολίζουμε με $\delta_{\alpha}$ . (Μπορούμε για $\alpha$ να πάρουμε και τα $+\infty, -\infty$ , αλλά τότε θα παίρνουμε τα αντίστοιχα όρια, για να βρούμε το πλήθος των εναλλαγών των προσήμων της ακολουθίας.)

Το πλήθος των πραγματικών ριζών του στο διάστημα $(\alpha,\beta)$ , ( $\alpha<\beta$ και $f(\alpha)f(\beta)\neq0$ ) είναι ίσο με $\delta_{\alpha}-\delta_{\beta}.$

Κάνοντας τους υπολογισμούς μας (στο Maple) για το παραπάνω πολυώνυμο, έχουμε ότι $\delta_{-\infty}-\delta_{+\infty}=0.$ Καμία λοιπόν πραγματική ρίζα.

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης

#3

nkatsipis έγραψε:Καμία λοιπόν πραγματική ρίζα, άρα το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στο $\mathbb{R}[x].$

Νίκο, το πολυώνυμο σίγουρα δεν είναι ανάγωγο στο $\mathbb{R}[x]$ αφού είναι γινόμενο πολυωνύμων βαθμού το πολύ 2.

Εδώ μιλάμε για αναγωγισιμότητα στο $\mathbb{Q}[x]$ και το ότι το πολυώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες δεν λύνει ακόμη το πρόβλημα.

#4

Σωστα Δημήτρη (άλλο είχα στο μυαλό...ότι να ναι

)! Σε ευχαριστώ!

Νίκος

#5

Τώρα που ξαναδιαβάζω προσεκτικά την άσκηση βλέπω ότι ο Γιώργος μιλάει για αναγωγιμότητα στους πραγματικούς και όχι στους ρητούς. Νομίζω όμως πως περισσότερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η αναγωγιμότητα στους ρητούς.

#6

Στους ρητούς δεν είναι ανάγωγο αφού

8x^6+4x^5+10x^4+5x^3+10x^2+4x+8=(2x^2+3x+2)(4x^4-4x^3+7x^2-4x+4).

Νίκος

#7

nkatsipis έγραψε:Στους ρητούς δεν είναι ανάγωγο αφού

Βεβαίως αν δεν είναι ανάγωγο στους ρητούς τότε δεν είναι ανάγωγο ούτε στους πραγματικούς. Αλλά ας εξηγήσω τι είχα κατά νου...

Είχα σκεφθεί λοιπόν ότι μπορούμε να ελπίζουμε σε μια γρήγορη παραγοντοποίηση μέσω της σχέσης

8x^6+4x^5+10x^4+5x^3+10x^2+4x+8=(2x^2+ax+2)(2x^2+bx+2)(2x^2+cx+2)

,

η οποία οδηγεί βεβαίως στις σχέσεις

4(a+b+c)=4

,

, και

,

δηλαδή

a+b+c=1

,

, και

.

Συμπεραίνουμε ότι τα

,

είναι ρίζες της τριτοβαθμίου $u^{3}-u^{2}-7u+3=0$ που είναι βέβαια* ισοδύναμη προς την $(u-3)(u^{2}+2u-1)=0$ : a=3

, $b=-1+\sqrt{2}$ , $c=-1-\sqrt{2}$ , και η πλήρης παραγοντοποίηση στους πραγματικούς είναι

$8x^{6}+4x^{5}+10x^{4}+5x^{3}+10x^{2}+4x+8= =(2x^{2}+3x+2)(2x^{2}-(1+\sqrt{2})x+2)(2x^{2}-(1-\sqrt{2})x+2)$

*ας παραδεχτώ εδώ ότι χθες βράδυ μου είχε ξεφύγει (!) η ρίζα u=3

, έβλεπα όμως ότι υπάρχουν τρεις πραγματικές ρίζες και τις έψαχνα με τύπους Cardano και βάλε: υποθέτω ότι δεν είναι αδύνατον να έχουμε παραγοντοποίηση πολυωνύμου 6ου βαθμού σε γινόμενο τριών τριωνύμων με άρρητους μεσαίους όρους (και κυβικές ρίζες);

Γιώργος Μπαλόγλου

ΥΓ Νίκο όσον αφορά τις τυχόν πραγματικές (αρνητικές) ρίζες, ένας τρόπος να δεις ότι δεν υπάρχουν είναι να παρατηρήσεις ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου $8t^{2}+9t+10$ είναι αρνητική! [Το

προκύπτει από την πρόσθεση του όρου 5x^3

είτε στο

(ως

) είτε στο 8x^2+4x+10

(ως

).]

#8

Demetres έγραψε:Τώρα που ξαναδιαβάζω προσεκτικά την άσκηση βλέπω ότι ο Γιώργος μιλάει για αναγωγιμότητα στους πραγματικούς και όχι στους ρητούς. Νομίζω όμως πως περισσότερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η αναγωγιμότητα στους ρητούς.

Δημήτρη σίγουρα είχες δίκαιο στο πρώτο σου σχόλιο, σαφώς και δεν θα μπορούσε να είναι ανάγωγο στους πραγματικούς: θα αλλάξω την εκφώνηση -- ζητώντας παραγοντοποίηση αντί εξέταση αναγωγιμότητας -- όταν τελειώσει η συζήτηση του θέματος.

[Νομίζω ότι είχα μπερδέψει προς στιγμήν (;) την μόνιμη θετικότητα με την αναγωγιμότητα (ή κάτι τέτοιο τέλος πάντων), παρά το ότι θυμάμαι ακόμη ότι κάθε πραγματικό πολυώνυμο γράφεται ως γινόμενο παραγόντων βαθμού το πολύ δυο (Θεμελιώδες Θεώρημα Άλγεβρας, συζυγείς μιγαδικές ρίζες, κλπ)

]

Γιώργος Μπαλόγλου

#9

Ένα κόλπο που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είναι να θέσουμε x = t + 1/t

. Τότε

και άρα

. Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι t^2 + 1/t^2 = x^2 - 2

.

Μετά από πράξεις παίρνουμε (για κάθε $t \neq 0$ ) ότι $\displaystyle{\frac{f(t)}{t^3} = 8x^3 + 4x^2 - 14x - 3 = (2x+3)(4x^2 - 4x - 1) = (2x+3)(2x -1 - \sqrt{2})(2x -1 + \sqrt{2}) = }$

$\displaystyle{ \frac{(2t^2 + 3t + 2)(2t^2 - (1 + \sqrt{2})t + 2)(2t^2 - (1 - \sqrt{2})t + 2)}{t^3} }$

και άρα $\displaystyle{ f(t) = (2t^2 + 3t + 2)(2t^2 - (1 + \sqrt{2})t + 2)(2t^2 - (1 - \sqrt{2})t + 2)}$

Εννοείται ότι το ίδιο κόλπο (συν χρήση των τύπων του Cardano) δουλεύει για να παραγοντοποιήσουμε κάθε πολυώνυμο βαθμού μικρότερου ή ίσου του 9 με συντελεστές συμμετρικούς ως προς τον μεσαίο όρο.

Ένα πρόβλημα που απασχόλησε αρκετά τους μαθηματικούς είναι η παραγοντοποίηση του πολυωνύμου x^n - 1

χρησιμοποιώντας μόνο ριζικά. Μέχρι το n=10

είμαστε μια χαρά αφού $x^{10} - 1 = (x-1)(x+1)(x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1)$ και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό y = x + 1/x

. Η παραγοντοποίηση του $x^{11}-1$ χρειάζεται κάποιο καινούργιο κόλπο. Αυτό επιτεύχθηκε από τον Vandermonde που ισχυρίστηκε (χωρίς απόδειξη) ότι η μέθοδός του δουλεύει για κάθε

. Αυτό αποδείχθηκε από τον Gauss και αργότερα από τον Galois. Για περισσότερες πληροφορίες δείτε το βιβλίο "Galois Theory" του Ian Stewart. (Την 3η έκδοση όμως. Οι προηγούμενες δυο εκδόσεις δεν συζητούν το πρόβλημα.)

#10

gbaloglou έγραψε:ΥΓ Νίκο όσον αφορά τις τυχόν πραγματικές (αρνητικές) ρίζες, ένας τρόπος να δεις ότι δεν υπάρχουν είναι να παρατηρήσεις ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου $8t^{2}+9t+10$ είναι αρνητική! [Το προκύπτει από την πρόσθεση του όρου είτε στο (ως ) είτε στο (ως ).]

Καμμιά αναγκαία και ικανή συνθήκη για να μην έχει πραγματικές ρίζες το πολυώνυμο $x^{6}+ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+bx^{2}+ax+1$ ; Σύμφωνα με τα παραπάνω, μια ικανή συνθήκη είναι η $(a+c)^{2}<4b$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

Πολυώνυμο 6ου βαθμού

Πολυώνυμο 6ου βαθμού

Re: Πολυώνυμο 6ου βαθμού

Re: Πολυώνυμο 6ου βαθμού

Re: Πολυώνυμο 6ου βαθμού

Re: Πολυώνυμο 6ου βαθμού

Re: Πολυώνυμο 6ου βαθμού

Re: Πολυώνυμο 6ου βαθμού

Re: Πολυώνυμο 6ου βαθμού

Re: Πολυώνυμο 6ου βαθμού

Re: Πολυώνυμο 6ου βαθμού

Μέλη σε σύνδεση