αντίστροφοι και ίσοι αριθμοί

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #1

Καλό βράδυ σε όλα τα μέλη του

Έστω x , y πραγματικοί και $\alpha =x+\sqrt{x^{2}+1}, \beta = \sqrt{y^{2}+1}-y$
Δείξτε ότι αν α , β αντίστροφοι τότε x = y . //

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #2

Ζητώ συγνώμμη για λάθος στην εκφώνηση .Το ζητούμενο είναι x = y .//
Ευχαριστώ τον κ.Κούτρα για τον εντοπισμό του προβλήματος στην εκφώνηση !!

#3

Είναι

$\displaystyle{\alpha \beta = 1 \Leftrightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \sqrt {{x^2} + 1} = y + \sqrt {{y^2} + 1}. }$

Αν $\displaystyle{f\left( t \right) = t + \sqrt {{t^2} + 1} }$ με $\displaystyle{t \in \mathbb{R}}$ , τότε είναι

$\displaystyle{f^{\prime}\left( t \right) = \frac{{f\left( t \right)}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} > 0}$ για κάθε $\displaystyle{t \in \mathbb{R}}$ . Έτσι, η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1 στο $\displaystyle{\mathbb{R}},$ οπότε από τη σχέση $\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( y \right)}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{x = y}$ .

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #4

Και μια λύση με Γυμνασιακές γνώσεις...
από την αβ =1 προκύπτει όπως είδαμε η ισοδύναμη
$x+\sqrt{x^{2}+1}=y+\sqrt{y^{2}+1}$ (1)
από την αβ=1 προκύπτει επίσης και η
$\sqrt{x^{2}+1}-x=\sqrt{y^{2}+1}-y$ (2)
με αφαίρεση κατά μέλη : (1)-(2) προκύπτει 2x=2y άρα και x=y .//

Ανδρέας Πούλος · #5

Γιάννη,
επειδή το θέμα τέθηκε για τους μικρούς, ίσως δεν γνωρίζουν την αντιμετώπιση μέσω συναρτήσεων.
Για το λόγο αυτό προτείνω μία αντιμετώπιση με πιο στοιχειώδη εργαλεία.
Πρέπει να ισχύει $x +\sqrt{x^{2}+1} = y + \sqrt{y^{2}+1}$ . (1)

Αποδεικνύεται εύκολα ότι $x +\sqrt{x^{2}+1} > 0$ για κάθε x (αντίστοιχα για κάθε y).
Αυτή η ιδιότητα είναι χρήσιμη για τις πράξεις που ακολουθήσουν.

Αποδεικνύεται με πράξεις ότι $(\sqrt{x^{2}+1}+x)(\sqrt{x^{2}+1}-x) = 1$ . (2)
Αντίστοιχα έχουμε $(\sqrt{y^{2}+1}+y)(\sqrt{y^{2}+1}-y) = 1$ . (3)

Οι σχέσεις (2) και (3) σε συνδυασμό με την αρχική (1) μας δίνουν ότι:

$\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}= \frac{1}{\sqrt{y^{2}+1}-y}\Leftrightarrow x - \sqrt{x^{2}+1} = y - \sqrt{y^{2}+1}$ , (4).

Με πρόσθεση των (1) και (4) κατά μέλη έχουμε x = y.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ανδρέας Πούλος · #6

Το ίδιο με τον Γιάννη.
Δεν θα το σβύσω, επειδή κουράστηκα να το γράψω.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

S.E.Louridas · #7

Γιά λόγους μαθηματικής πολυφωνίας ας θυμηθούμε:
viewtopic.php?f=60&t=14700

S.E.Louridas

αντίστροφοι και ίσοι αριθμοί

αντίστροφοι και ίσοι αριθμοί

Re: αντίστροφοι και ίσοι αριθμοί

Re: αντίστροφοι και ίσοι αριθμοί

Re: αντίστροφοι και ίσοι αριθμοί

Re: αντίστροφοι και ίσοι αριθμοί

Re: αντίστροφοι και ίσοι αριθμοί

Re: αντίστροφοι και ίσοι αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση