Αδύνατο στο Ζ!

#1

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του θετικού ακεραίου $\displaystyle{a,}$ για την οποία το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases}x+y+z=a, \\ x^3+y^3+z^2=a \end{cases}}$

δεν έχει ακέραια λύση.

Μια λύση $\displaystyle{(x,y,z)}$ λέγεται ακέραια, όταν $\displaystyle{x,y,z\in \mathbb{Z}.}$

Από βουλγάρικο διαγωνισμό, προταθέν από τον Oleg Mushkarov.

#2

Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{a = 4}$ .

Για $\displaystyle{a = 1}$ , το δοσμένο σύστημα έχει την ακέραια λύση $\displaystyle{\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,0,0} \right)}$ .

Για $\displaystyle{a = 2}$ , το δοσμένο σύστημα έχει την ακέραια λύση $\displaystyle{\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,1,0} \right)}$ .

Για $\displaystyle{a = 3}$ , το δοσμένο σύστημα έχει την ακέραια λύση $\displaystyle{\left( {x,y,z} \right) = \left( {1,1,1} \right)}$ .

Υποθέτουμε ότι η τριάδα $\displaystyle{\left( {x,y,z} \right)}$ είναι ακέραια λύση του συστήματος

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + z = 4}\\ {{x^3} + {y^3} + {z^2} = 4} \end{array}} \right\}}$ .

Παρατηρούμε ότι αν $\displaystyle{{z = 4}}$ , τότε θα ήταν $\displaystyle{y = - x}$ και άρα η δεύτερη εξίσωση του συστήματος οδηγεί σε άτοπο. Επομένως, μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\displaystyle{z \ne 4}$ .

Τότε, θα είναι

$\displaystyle{{x + y = 4 - z}}$ $\bf\color{red} \left(1 \right)$

και άρα

$\displaystyle{4 - {z^2} = {x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow \frac{{4 - {z^2}}}{{4 - z}} = {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy \Rightarrow \frac{{4 - {z^2}}}{{4 - z}} = {\left( {4 - z} \right)^2} - 3xy \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \Rightarrow xy = \frac{{{{\left( {4 - z} \right)}^3} + {z^2} - 4}}{{3\left( {4 - z} \right)}}}$ $\bf\color{red} \left(2 \right)$ .

Αλλά ο αριθμός $\displaystyle{\frac{{4 - {z^2}}}{{4 - z}} = 4 + z + \frac{{12}}{{z - 4}}}$ είναι ακέραιος, οπότε θα πρέπει

$\displaystyle{z - 4 \in \left\{ { - 1,1, - 2,2, - 3,3, - 4,4, - 6,6, - 12,12} \right\}}$

και άρα

$\displaystyle{z \in \left\{ { - 8, - 2,0,1,2,3,5,6,7,8,10,16} \right\}}$ .

Τώρα, δεν έχω κάτι πιο σύντομο από τη (βαρετή) επαλήθευση ότι καμία από τις παραπάνω τιμές του $\displaystyle{z}$ , αν αντικατασταθεί στις σχέσεις $\bf\color{red} \left(1 \right)$ και $\bf\color{red} \left(2 \right)$ , δε δίνει ακέραιες τιμές για τα $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ ...

Αδύνατο στο Ζ!

Αδύνατο στο Ζ!

Re: Αδύνατο στο Ζ!

Μέλη σε σύνδεση