Ανισότητα

#1

Δείξτε ότι για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c

με $\displaystyle{a+b+c=2}$ ισχύει

$\displaystyle{\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geq \frac{27}{13}.}$

Πότε ισχύει η ισότητα;

#2

Είναι:

$\displaystyle{\frac{1}{{1 + ab}} + \frac{1}{{1 + bc}} + \frac{1}{{1 + ca}} \ge \frac{{{{\left( {1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{3 + ab + bc + ca}} = \frac{9}{{3 + ab + bc + ca}}}$

Αρκεί να αποδείξω ότι:

$\displaystyle{\frac{9}{{3 + ab + bc + ca}} \ge \frac{{27}}{{13}}}$

ή ακόμη καλύτερα:

$\displaystyle{ab + bc + ca \le \frac{4}{3}}$

το οποίο ισχύει γιατί:

$\displaystyle{ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2} \Rightarrow 3\left( {ab + bc + ca} \right) \le 2ab + 2bc + 2ca + {a^2} + {b^2} + {c^2} \Rightarrow 3\left( {ab + bc + ca} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^2} = 4}$

Η ισότητα αληθεύει αν και μόνον αν $\displaystyle{a = b = c = \frac{2}{3}}$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση