ΣΥΣΤΗΜΑ19

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - y + z = 1\\ x + {y^2} + {z^2} = 3\\ xy + yz - zx = 1\\ \left( {x,y,z \in Q} \right) \end{array} \right.$
Ν.Ζ.

#2

Είναι $\displaystyle{(x-y+z)^2=...=2-(x-y+z)\implies x-y+z=1, \ -2.}$

--Αν $\displaystyle{x-y+z=1}$ τότε $\displaystyle{x^2=1+y-z=x}$ και έχουμε τις λύσεις $\displaystyle{(1,1,1), (1,-1,-1)}$

--Αν $\displaystyle{x-y+z=-2}$ τότε $\displaystyle{x^2=1+y-z=x+3}$ και τότε $x\notin \Bbb{Q}.$

#3

Έχουμε: $\displaystyle{y^2 +z^2 =3-x\Rightarrow (y-z)^2 +2yz=3-x}$ , (ΣΧΕΣΗ 1)

Eπίσης: $\displaystyle{y-z=x^2 -1}$ , (ΣΧΕΣΗ 2)

Kαι από την τρίτη εξ'ισωση του δοσμένου συστήματος, 'εχουμε: $\displaystyle{x(y-z)+yz=1\Rightarrow yz=1-x^3 +x}$ , (ΣΧΕΣΗ 3)

Η ΣΧΕΣΗ 1 , γράφεται: $\displaystyle{(x^2 -1)^2 +2(1-x^3 +x)=3-x\Rightarrow x(x^3 -2x^2 -2x+3)=0\Rightarrow }$

$\displaystyle{x(x-1)(x^2 -x-3)=0}$ , οπότε η συνέχεια είναι στοιχειώδης.

parmenides51 · #4

Ας συμπληρώσω τις λύσεις του Θανάση (socrates) και του Δημήτρη ώστε να είναι δημοσίευσιμες σαν πλήρεις λύσεις και οχι σαν υποδείξεις

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - y + z = 1\\ x + {y^2} + {z^2} = 3\\ xy + yz - zx = 1\\ \left( {x,y,z \in Q} \right) \end{array} \right.$

λύση 1 (socrates)

$\left\{ \begin{array}{l} x^2 =1+ y - z\\ x^2 + z^2 = 3-x\\ xy + yz - zx = 1\\ \left( {x,y,z \in Q} \right) \end{array} \right.$

Είναι
$\displaystyle{(x-y+z)^2=(x-y+z)(x-y+z)=x^2-xy+xz-xy+y^2-yz+zx-yz+z^2}$
$\displaystyle{=x^2+y^2+z^2-2xy+2xz-2yz=(x^2)+(y^2+z^2)-2(xy-xz+yz)}$
$\displaystyle{=1+y-z+3-x-2\cdot 1=2-x+y-z=2-(x-y+z)}$

θέτω $\displaystyle{a=x-y+z}$ οπότε $\displaystyle{a^2-a+2=0 \Rightarrow a=1}$ ή $\displaystyle{a=-2}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{a=x-y+z=1}$ τότε $\displaystyle{x^2=1+y-z=x}$ οπότε $\displaystyle{x=0}$ ή $\displaystyle{x=1}$

---για $\displaystyle{x=0}$ :
$\displaystyle{x^2 + z^2 = 3-x \Rightarrow 0+z^2=3-0 \Leftrightarrow z=\pm \sqrt3 \notin \mathbb Q}$

---για $\displaystyle{x=1}$ :

$\displaystyle{x^2 + z^2 = 3-x \Rightarrow 1+z^2=3-1 \Leftrightarrow z^2=1 \Leftrightarrow z=\pm 1}$
$\displaystyle{x^2 =1+ y - z \Rightarrow 1=1+y-z \Rightarrow y=z}$

----------για $\displaystyle{z=1 \Rightarrow y=z=1}$
----------για $\displaystyle{z=-1 \Rightarrow y=z=-1}$

άρα έχουμε τις λύσεις $\displaystyle{(x_1,y_1,z_1)=(1,1,1), (x_2,y_2,z_2)=(1,-1,-1)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x-y+z=-2}$ τότε $\displaystyle{x^2=1+y-z=x+3 \Rightarrow x^2-x-3=0}$

τότε $\displaystyle{x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}\notin \mathbb{Q}}$ οπότε απορρίπτεται

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - y + z = 1\\ x + {y^2} + {z^2} = 3\\ xy + yz - zx = 1\\ \left( {x,y,z \in Q} \right) \end{array} \right.$

λύση 2 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ)

Έχουμε $\displaystyle{y^2 +z^2 =3-x\Rightarrow (y-z)^2 +2yz=3-x}$ (1)

Eπίσης: $\displaystyle{y-z=x^2 -1}$ (2)

Kαι από την τρίτη εξίσωση του δοσμένου συστήματος λόγω της (2) έχουμε: $\displaystyle{x(y-z)+yz=1\Rightarrow yz=1-x^3 +x}$ (3)

Η (1) λόγω (2),(3) γράφεται: $\displaystyle{(x^2 -1)^2 +2(1-x^3 +x)=3-x\Rightarrow x(x^3 -2x^2 -2x+3)=0\Rightarrow }$

$\displaystyle{x(x-1)(x^2 -x-3)=0}$ , οπότε $\displaystyle{x=0}$ ή $\displaystyle{x=1}$ ή $\displaystyle{x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}\notin \mathbb{Q}}$ που απορρίπτεται

---για $\displaystyle{x=0}$ :
$\displaystyle{x^2 + z^2 = 3-x \Rightarrow 0+z^2=3-0 \Leftrightarrow z=\pm \sqrt3 \notin \mathbb{Q}}$

---για $\displaystyle{x=1}$ :

$\displaystyle{x^2 + z^2 = 3-x \Rightarrow 1+z^2=3-1 \Leftrightarrow z^2=1 \Leftrightarrow z=\pm 1}$
$\displaystyle{x^2 =1+ y - z \Rightarrow 1=1+y-z \Rightarrow y=z}$

----------για $\displaystyle{z=1 \Rightarrow y=z=1}$
----------για $\displaystyle{z=-1 \Rightarrow y=z=-1}$

άρα έχουμε τις λύσεις $\displaystyle{(x_1,y_1,z_1)=(1,1,1), (x_2,y_2,z_2)=(1,-1,-1)}$

ΣΥΣΤΗΜΑ19

ΣΥΣΤΗΜΑ19

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ19

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ19

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ19

Μέλη σε σύνδεση