ΣΥΣΤΗΜΑ 22 (ΝΙΓΗΡΙΑ 2007)

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {2y + 3} \\ y = \sqrt {2z + 3} \\ z = \sqrt {2x + 3} \\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.}$
Ν.Ζ.

#2

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει λύση $\displaystyle{(x,y,z)}$ για την οποία δεν ισχύει $\displaystyle{x=y=z.}$

Αν π.χ. $\displaystyle{x>y,}$ από τις πρώτες δύο εξισώσεις προκύπτει $\displaystyle{y>z,}$ οπότε από τη 2η και την 3η εξίσωση βρίσκουμε $\displaystyle{z>x,}$ άτοπο.
Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο θεωρώντας οποιαδήποτε άλλη ανισοτική σχέση.

Άρα $\displaystyle{x=y=z,}$ οπότε $\displaystyle{x=\sqrt{2x+3}\implies x^2-2x-3=0\implies x=3,}$ αφού $\displaystyle{x\geq 0.}$
Πράγματι, η τριάδα $\displaystyle{(3,3,3)}$ ικανοποιεί το σύστημα.

parmenides51 · #3

παρόμοια

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle{ & \,\,\,\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}} {x - \sqrt y = 72}\\ {y - \sqrt z = 72}\\ {z - \sqrt x = 72} \end{array}} \right.}$

εδώ

parmenides51 · #4

Αφού διάβασα την αντίστοιχη μέθοδο στις παραπομπές εδώ την εφαρμόζω

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt {2y + 3} \\ y = \sqrt {2z + 3} \\ z = \sqrt {2x + 3} \\ \left( {x,y,z \in R} \right) \end{array} \right.}$

θέτω $\displaystyle{f(x)=\sqrt {2x+ 3}, x\in\left[-\frac{3}{2},+\infty\right)}$

το σύστημα γράφεται στην μορφή (S): $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x = f(y) \\ y = f(z) \\ z = f(x) \end{array} \right.}$

η $\displaystyle{f(x)}$ είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση

1ος τρόπος

Έστω $x=\min \{x,y,z\}$ . Τότε έχουμε τις περιπτώσεις $x\leq y\leq z$ ή $x\leq z\leq y$ .

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x\leq y\leq z \mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{f \nearrow}f(x)\leq f(y)\leq f(z)}$

αλλά $\displaystyle{x\leq y\leq z \limits{_{\Longleftrightarrow }^{(S)}f(y)\leq f(z)\leq f(x)}$

οπότε $\displaystyle{f(x)\leq f(y)\leq f(z)\leq f(x)\Rightarrow f(x)= f(y)= f(z)\limits{_{\Longrightarrow }^{(S)}x=y=z}$

άρα $\displaystyle{(x,y,z)=(a,a,a)}$ όπου $\displaystyle{a}$ ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=x}$

Για $\displaystyle{x\in\left[-\frac{3}{2},+\infty\right)}$ είναι $\displaystyle{f(x)=x\Leftrightarrow \sqrt {2x+ 3}=x \Rightarrow 2x+ 3=x^2}$
$\displaystyle{\Rightarrow x=3}$ δεκτή ή $\displaystyle{x=-1}$ απορρίπτεται διότι $\displaystyle{x=\sqrt {2x+ 3}\ge 0}$

τελικά $\displaystyle{(x,y,z)=(3,3,3)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x\leq z\leq y \mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{f \nearrow}f(x)\leq f(z)\leq f(y)}$

αλλά $\displaystyle{x\leq z\leq y \limits{_{\Longleftrightarrow }^{(S)}f(y)\leq f(x)\leq f(z)}$

οπότε $\displaystyle{f(x)\leq f(z)\leq f(y)\leq f(x)\Rightarrow f(x)= f(y)= f(z)\limits{_{\Longrightarrow }^{(S)}x=y=z}$

άρα $\displaystyle{(x,y,z)=(a,a,a)}$ όπου $\displaystyle{a}$ ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=x}$

ομοίως βρίσκουμε οτι $\displaystyle{(x,y,z)=(3,3,3)}$

2ος τρόπος

Έστω $\displaystyle{(a,b,c)}$ λύση του συστήματος $\displaystyle{(S)}$ τότε $\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} f(f(f(a)))=f(f(b))=f(c)=a \\ f(f(f(b)))=f(f(c))=f(a)=b \\ f(f(f(c)))=f(f(a))=f(b)=c \end{array} \right.}$

άρα οι αριθμοί $\displaystyle{a,b,c}$ είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{f(f(f(x)))=x}$ (1)

έστω $\displaystyle{d }$ ρίζα της (1) με $\displaystyle{d<f(d) }$

$\displaystyle{\mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{(1)}f(f(f(d)))<f(d)\Leftrightarrow }f(f(d))<d\mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{f \nearrow}f(f(f(d))) <f(d )\mathtop \limits{_{\Longrightarrow }^{(1)} d<f(d )}$ άτοπο διότι $\displaystyle{d<f(d)}$

ομοίως προκύπτει άτοπο εαν $\displaystyle{d }$ ρίζα της (1) με $\displaystyle{d>f(d)}$

άρα για κάθε $\displaystyle{d }$ ρίζα της (1) θα ισχύει $\displaystyle{f(d)=d}$

άρα $\displaystyle{f(f(f(x)))=x\Rightarrow f(x)=x}$

έστω $\displaystyle{e }$ ρίζα της $\displaystyle{f(x)=x}$ τότε $\displaystyle{f(f(f(e)))=f(f(e))=f(e)=e}$ , δηλαδή $\displaystyle{e }$ ρίζα της $\displaystyle{f(f(f(x)))=x}$

άρα $\displaystyle{f(x)=x \Rightarrow f(f(f(x)))=x}$

συνοψίζοντας έχουμε ότι $\displaystyle{f(f(f(x)))=x \mathtop \limits{_{\Longleftrightarrow }^{f \nearrow}f(x)=x}$

δηλαδή οι αριθμοί $\displaystyle{a,b,c}$ είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=x}$

$\displaystyle{f(x)=x\Leftrightarrow \sqrt {2x+ 3}=x \Rightarrow 2x+ 3=x^2\Rightarrow x=3}$ γιατί $\displaystyle{x\ge 0}$

τελικά $\displaystyle{(x,y,z)=(3,3,3)}$

ΣΥΣΤΗΜΑ 22 (ΝΙΓΗΡΙΑ 2007)

ΣΥΣΤΗΜΑ 22 (ΝΙΓΗΡΙΑ 2007)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 22 (ΝΙΓΗΡΙΑ 2007)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 22 (ΝΙΓΗΡΙΑ 2007)

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ 22 (ΝΙΓΗΡΙΑ 2007)

Μέλη σε σύνδεση