Βρείτε τη γωνία χ (59)

Ιστοσελίδα · #1

Στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημείο Δ τέτοιο ώστε: $\Delta \widehat {\rm B}{\rm A} = {6^ \circ },\,\Delta \widehat {\rm A}{\rm B} = {30^ \circ },\,\Delta \widehat {\rm A}\Gamma = {54^ \circ },\,\Delta \widehat \Gamma {\rm A} = {24^ \circ }$ . Βρείτε τη γωνία $x = \Delta \widehat {\rm B}\Gamma .$

: x59.jpg (25.42 KiB) Προβλήθηκε 698 φορές

#2

Συμπληρώνοντας τις γωνίες προκύπτει το παρακάτω σχήμα:

: Βρείτε τη γωνία χ (59).jpg (22.08 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

Από νόμο ημιτόνων σε τρίγωνα έχουμε $\displaystyle{\frac{\alpha }{{\sin \left( x \right)}} = \frac{\beta }{{\sin \left( {66 - x} \right)}}}$ , $\displaystyle{\frac{\alpha }{{\sin \left( {54} \right)}} = \frac{\delta }{{\sin \left( {24} \right)}}}$ και $\displaystyle{\frac{\beta }{{\sin \left( {30} \right)}} = \frac{\delta }{{\sin \left( 6 \right)}}}$ , που τελικά με απαλοιφές παίρνουμε

$\displaystyle{\frac{{\sin \left( x \right)}}{{\sin \left( {66 - x} \right)}} = \frac{{\sin \left( {54} \right)\sin \left( 6 \right)}}{{\sin \left( {24} \right)\sin \left( {30} \right)}} = \frac{{\sin \left( {18} \right)}}{{\sin \left( {48} \right)}} \cdot \frac{{\sin \left( {54} \right)\sin \left( 6 \right)\sin \left( {48} \right)}}{{\sin \left( {24} \right)\sin \left( {30} \right)\sin \left( {18} \right)}}}$ .

Όμως $\displaystyle{\frac{{\sin \left( {54} \right)\sin \left( 6 \right)\sin \left( {48} \right)}}{{\sin \left( {24} \right)\sin \left( {30} \right)\sin \left( {18} \right)}} = \frac{{4\sin \left( {54} \right)\sin \left( 6 \right)\cos \left( {24} \right)}}{{\sin \left( {18} \right)}} = \frac{{2\sin \left( 6 \right)\left( {\sin \left( {78} \right) + \sin \left( {30} \right)} \right)}}{{\sin \left( {18} \right)}}}$

$\displaystyle{ = \frac{{2\sin \left( 6 \right)\cos \left( {12} \right) + \sin \left( 6 \right)}}{{\sin \left( {18} \right)}} = \frac{{2\sin \left( 6 \right)\left( {1 - 2{{\sin }^2}\left( 6 \right)} \right) + \sin \left( 6 \right)}}{{\sin \left( {18} \right)}} = \frac{{3\sin \left( 6 \right) - 4{{\sin }^3}\left( 6 \right)}}{{\sin \left( {18} \right)}} = 1}$

Άρα $\displaystyle{\frac{{\sin \left( x \right)}}{{\sin \left( {66 - x} \right)}} = \frac{{\sin \left( {18} \right)}}{{\sin \left( {48} \right)}} = \frac{{\sin \left( {18} \right)}}{{\sin \left( {66 - 18} \right)}}}$ και λόγω μονοτονίας $\displaystyle{x = {18^o}}$ .

#3

Κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΕΖ με Ζ επί της ΓΔ (φέρνοντας τη συμμετρική της ΑΒ ως προς ΑΔ) και Ε επί της ΑΒ. $Z\hat{A}\Gamma=54^{0}-30^{0}=24^{0}$ , οπότε το τρίγωνο ΖΑΓ είναι ισοσκελές. Δηλαδή ΖΑ=ΖΓ=ΖΕ, οπότε $E\hat{Z}\Gamma=2\cdot \hat{A}=2\cdot 84^{0}= 168^{0}\Rightarrow Z\hat{\Gamma} E =6^{0}$
Επομένως το τετράπλευρο ΕΔΓΒ είναι εγγράψιμο, οπότε $\Delta \hat{B}\Gamma =\Delta \hat{E}\Gamma=18^{0}$

Βρείτε τη γωνία χ (59)

Βρείτε τη γωνία χ (59)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (59)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (59)

Μέλη σε σύνδεση