Βρείτε τη γωνία χ (98)

Ιστοσελίδα · #1

: χ98.png (32.12 KiB) Προβλήθηκε 610 φορές

Επί της πλευράς

, τριγώνου ABC

, παίρνουμε σημείο

, τέτοιο ώστε: BD = AC

, $D\widehat AC = {68^ \circ }$ και $\widehat C = 2B\widehat AD = 2y$ . Βρείτε τη γωνία $x = \widehat B$ .

#2

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Το συνημμένο χ98.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Επί της πλευράς , τριγώνου , παίρνουμε σημείο , τέτοιο ώστε: , $D\widehat AC = {68^ \circ }$ και $\widehat C = 2B\widehat AD = 2y$ . Βρείτε τη γωνία $x = \widehat B$ .

: 1.png (81.88 KiB) Προβλήθηκε 579 φορές

Μιχάλη καλημέρα!

Έστω $\displaystyle{ CE,\left( {E \in AB} \right) }$ η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{ \widehat{ACD} = 2y \Rightarrow \widehat{ECD} = y = \widehat{EAD} \Rightarrow AEDC }$ εγγράψιμο άρα $\displaystyle{ \widehat{EDA} = \widehat{ECA} = y = \widehat{EAD} \Rightarrow \vartriangle EAD }$

ισοσκελές άρα $\displaystyle{ \boxed{ED = EA}:\left( 1 \right) }$ και επίσης από το εγγράψιμο τετράπλευρο είναι $\displaystyle{ \boxed{\widehat{BDE}\mathop = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa - \alpha \pi \nu \alpha \nu \tau \iota .\varepsilon \sigma \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa } \widehat{EAC} = 60^0 + y}:\left( 2 \right) }$

Από $\displaystyle{ \left( 1 \right),\left( 2 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{AC = BD \to \Pi - \Gamma - \Pi } \vartriangle EDB = \vartriangle EAC \Rightarrow \boxed{x = y}:\left( 3 \right) }$ οπότε από το αρχικό τρίγωνο

$\displaystyle{ \vartriangle ABC \Rightarrow x + y + 68^0 + 2y = 180^0 \mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} 4x + 68^0 = 180^0 \Rightarrow \boxed{x = 28^0 } }$

Στάθης

p_gianno · #3

Θεωρώ το παρ/μμο DCAA'

. Τότε

και επειδή τργ BDA'

ισοσκελές και $<BDA'=2 \cdot BAD$ προκύπτει ότι το

είναι σημείο του κύκλου ( D,DB)

συνεπώς

ή

Στο τργ

εχουμε

ή

#4

Με Τριγωνομετρία και με το σχήμα του Μιχάλη, δίχως καμία βοηθητική.

: χ98.png (32.12 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

Στο $\displaystyle ABC$ είναι $\displaystyle x + \left( {y + 68^\circ } \right) + 2y = 180^\circ \Leftrightarrow x = 112^\circ - 3y$

Από Ν. Ημιτόνων στο $\displaystyle ABD$ είναι

$\displaystyle \frac{{BD}}{{\eta \mu y}} = \frac{{AD}}{{\eta \mu x}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{\eta \mu y}}{{\eta \mu x}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{\eta \mu y}}{{\eta \mu \left( {112^\circ - 3y} \right)}}$

Από Ν. Ημιτόνων στο $\displaystyle ADC$ είναι $\displaystyle \frac{{AC}}{{\eta \mu \left( {x + y} \right)}} = \frac{{AD}}{{\eta \mu 2y}} \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{\eta \mu \left( {112^\circ - 2y} \right)}}{{\eta \mu 2y}}$

Οπότε

$\displaystyle \begin{array}{l} \frac{{\eta \mu y}}{{\eta \mu \left( {112^\circ - 3y} \right)}} = \frac{{\eta \mu \left( {112^\circ - 2y} \right)}}{{\eta \mu 2y}} \Leftrightarrow \eta \mu 2y \cdot \eta \mu y = \eta \mu \left( {112^\circ - 3y} \right) \cdot \eta \mu \left( {112^\circ - 2y} \right) \\ \\ \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu y - \sigma \upsilon \nu 3y = \sigma \upsilon \nu \left( { - y} \right) - \sigma \upsilon \nu \left( {224^\circ - 5y} \right) \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \left( {224^\circ - 5y} \right) = \sigma \upsilon \nu y \\ \end{array}$

οπότε $\displaystyle 224^\circ - 5y = 360^\circ \kappa \pm 3y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8y = 360^\circ \kappa - 224^\circ \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\eta \\ - 2y = 360^\circ \kappa - 224^\circ \\ \end{array} \right.\;\;\kappa \in {\rm Z}$
και αφού $\displaystyle 0^\circ < y < \frac{{112^\circ }}{3}$ είναι $\displaystyle y = 28^\circ$

Ιστοσελίδα · #5

Στάθη καλησπέρα και σ' ευχαριστώ για την λύση (έκανα την ίδια ακριβώς σκέψη). Με τον Παναγιώτη τα είπαμε σήμερα στο συνέδριο (εξαιρετικός γεωμέτρης, με καταπληκτικές λύσεις). Γιώργο σ' ευχαριστώ και ανταποδίδω τα χαιρετίσματα που μας έστειλες μέσω του Κώστα Δόρτσιου (ελπίζω στο επόμενο συνέδριο να τα πούμε από κοντά).

Βρείτε τη γωνία χ (98)

Βρείτε τη γωνία χ (98)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (98)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (98)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (98)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (98)

Μέλη σε σύνδεση