Παράλληλο προς τη διάκεντρο

KARKAR · #1

Τα ύψη

και

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνονται στο σημείο

. Από τυχαίο σημείο

της

διέρχονται οι κύκλοι BZS

και

, οι οποίοι τέμνονται και στο

. Δείξτε ότι το τμήμα

είναι παράλληλο προς τη διάκεντρο

των δύο κύκλων .

S.E.Louridas · #2

$T{'} \in AS,\;HT{'} \bot AS \Rightarrow \angle ZTS = \frac{\pi } {2} + \angle ZTH = \frac{\pi } {2} + \angle ZAH = \pi - \angle B \Rightarrow \angle ZTS + \angle B = \pi ,$
Αυτό οδηγεί στο ότι τα σημεία B, S, T{'}, Z

είναι σημεία του ίδιου κύκλου οπότε
$T{'} \equiv T.$
Εδώ θεωρώ ότι τελείωσε επί της ουσίας η λύση.

Χρησιμοποιήσαμε ότι $AZ \cdot AB = AE \cdot AC \Rightarrow A \in TS,\;TS$ είναι προφανώς ο ριζικός άξονας των δύο κύκλων (BSZ), (SCE).

S.E.Louridas

Grigoris K. · #3

Καλημέρα κ. Θανάση. Καλή Σαρακοστή !

Καταρχήν το ZECB

είναι εγγράψιμο άρα μπορούμε να θεωρήσουμε τον κύκλο (ZECB)

.

Είναι φανερό ότι το

είναι το ριζικό κέντρο των κύκλων (ZECB), ~(BZS),~(SEC)

.

Άρα

συνευθειακά (αφού ανήκουν στον ριζικό άξονα των (BZS),~(SEC)

και από δύναμη κύκλου θα ισχύει $AT \cdot AS = AZ \cdot AB$ .

Αν

το τρίτο ύψος προκύπτει εύκολα ότι $AZ\cdot AB = AH \cdot AD$ .

Συνεπώς $AT \cdot AS = AH \cdot AD \Rightarrow HTSD$ εγγράψιμο, δηλαδή $\boxed{HT \perp TS}$ .

Υ.Γ. Με πρόλαβε ο κ. Σωτήρης

αλλά την αφήνω μιας και την πληκτρολόγησα.

S.E.Louridas · #4

Γρηγόρη μου, κατ' αρχάς καλή Σαρακοστή σε σένα και τους Ανθρώπους σου.
Ξέρεις κάτι;
Αν λάβεις υπ' όψη την ηλικία μου και την εμπειρία μου στους Μαθηματικούς διαγωνισμούς τότε εσύ πρόλαβες εμένα και αυτό με ευχαριστεί ιδιαιτέρως και ειλικρινά.

Σ.Ε.Λουρίδας

Grigoris K. · #5

Ευχαριστώ πολύ κ. Σωτήρη. Σας εύχομαι και εγώ με την σειρά μου Καλή Σαρακοστή.

#6

: sfd.png (30.23 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

με αντιστροφή

τα A,T,S

είναι συνευθειακά
αντιστρέφουμε τα πάντα με
πόλο

και λόγο $\lambda=AT\cdot AS$ την κοινή δύναμη του

ως προς τους κύκλους (O),(K)

οι οποίοι παραμένουν αμετάβλητοι.
το

αντιστρέφεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle AZC$
το

στον περιγεγραμμένο του $\vartriangle ABE$
$H\to H'$ σημείο τομής των δύο περιγεγραμμένων,θα βρίσκεται στη

Η

αντιστρέφεται στον κύκλο (AZHTE)

το

είναι εγγράψιμο
αλλά $HH'\perp BC$ άρα $HT\perp AS$
επομένως HT // OK

Παράλληλο προς τη διάκεντρο

Παράλληλο προς τη διάκεντρο

Re: Παράλληλο προς τη διάκεντρο

Re: Παράλληλο προς τη διάκεντρο

Re: Παράλληλο προς τη διάκεντρο

Re: Παράλληλο προς τη διάκεντρο

Re: Παράλληλο προς τη διάκεντρο

Μέλη σε σύνδεση